Dados os pontos A(-1, 0, 3), B(4, 6, -2) e C(0, 3, 4), obtenha a equação geral do plano αα que passa por estes pontos.?

Respostas

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano procurado é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 3x - 2y + 3z = 6\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os pontos pertencentes ao plano:

$\Large\begin{cases} A = (-1, 0, 3)\\B = (4, 6, -2)\\C = (0, 3, 4)\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

Determinar os vetores diretores do plano.

$\Large\begin{cases} \overrightarrow{AB} = B - A = (4, 6, 2) - (-1, 0, 3) = (5, 6, -1)\\\overrightarrow{AC} = C - A = (0, 3, 4) - (-1, 0, 3) = (1, 3, 1)\end{cases}$

Obter o vetor normal do plano. Para isso, devemos calcular o produto vetorial dos vetores diretores.

$\Large \text {$\begin{aligned} \vec{n} &=\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\\ & = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\5 & 6 & -1\\1 & 3 & 1\\ \end{vmatrix}\\& = \begin{vmatrix} 6 & -1\\3 & 1\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}5 & -1\\1 & 1 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}5 & 6\\1 & 3 \end{vmatrix}\vec{k}\\& = (6 + 3)\vec{i} - (5 + 1)\vec{j} + (15 - 6)\vec{k}\\& = 9\vec{i} - 6\vec{j} + 9\vec{k}\\& = (9, -6, 9)\end{aligned} $}$

Portanto, o vetor normal do plano é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{n} = (9, -6, 9)\end{gathered}$}$

Montar a equação geral do plano. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf I}\:\:\:X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$}$

Inserindo as coordenadas de qualquer um dos pontos três pontos dados, bem como as componentes do vetor normal encontrado, podemos montar a equação do plano. Neste caso, vou utilizar ao ponto "A":

$\Large \text {$\begin{aligned}9x - 6y + 9z & = 9\cdot(-1) + (-6)\cdot0 + 9\cdot3\\9x - 6y + 9z & = -9 + 27\\9x - 6y + 9z & = 18\\ 3x - 2y + 3z & = 6\end{aligned} $}$