Question

[Inequação Modular]
Demonstre: $|x| - |y| \leq |x-y|$, ∀ $x, y$ números reais.

Answer 1

Dados dois números reais x, y, desejamos demonstrar que a diferença entre os módulos é menor ou igual que o módulo das diferenças, isto é

     |x| − |y| ≤ |x − y|.

Para isso, utilizaremos algumas propriedades do módulo envolvendo desigualdades específicas.

Modulo ou valor absoluto de um número real

    ⋄ Definição: Seja a um número real. Definimos o módulo de a (notação |a|) através das duas sentenças a seguir:

• |a| = a, se a ≥ 0
• |a| = − a, se a < 0

Sendo a real, podemos também representar o módulo de a como a raiz quadrada de a²:

     $|a|=\sqrt{a^2}.$

Nesta última forma, enxergamos o módulo de a como a distância da imagem geométrica do número a até o zero na reta real.

Segue como consequência da própria definição que

    |a| ≥ 0

para todo a real.

Algumas propriedades do módulo de um número real

    ⋄  Propriedade 1: Se a é um número real, então a ≤ |a|.

A verificação da proposição acima é relativamente simples. Pela definição, existem apenas dois casos a considerar.

• Caso (i): a ≥ 0.

Neste caso, temos |a| = a. É imediato verificar que a ≤ a = |a|.

• Caso (ii): a < 0.

Neste outro caso, temos |a| = − a. Como o módulo é uma distância, então devemos ter

     |a| > 0

     ⟹   − a > 0

Como a < 0, segue que

     ⟹   − a > 0   e   a < 0

     ⟺   a < 0 < − a

     ⟹   a < 0 < |a|

     ⟹   a < |a|

     ⟹   a ≤ |a|           □

A seguir temos enunciados de outras propriedades necessárias para a resolução desta tarefa.

    ⋄  Propriedade 2: Se x, y são números reais, então |xy| = |x| · |y|.

Esta propriedade afirma que dados dois números reais, o produto dos módulos é igual ao módulo dos produtos.

    ⋄  Propriedade 3: Se a é um número real, então a² = |a|².

Esta é apenas um caso particular da propriedade 2, para x = y = a.

Demonstração da desigualdade |x| − |y| ≤ |x − y|

    ⋄  Proposição: Se x, y são números reais, então

     |x| − |y| ≤ |x − y|.

    ⋄  Demonstração: Pela propriedade 1, temos

     |xy| ≥ xy

Multiplicando os dois lados da desigualdade por −2, que é negativo, o sentido da desigualdade é invertido. Assim, devemos ter

     ⟺   − 2|xy| ≤ − 2xy

Somando x² + y² a ambos os membros, obtemos uma desigualdade equivalente:

     ⟺   x² + y² − 2|xy| ≤ x² + y² − 2xy

Reorganizando as parcelas em ambos os membros, temos:

     ⟺   x² − 2|xy| + y² ≤ x² − 2xy + y²

Pelas proposiçoes 2 e 3, podemos substituir acima no lado esquerdo

• x² = |x|²
• y² = |y|²
• |xy| = |x| · |y|

e a desigualdade fica

     ⟺   |x|² − 2|x| · |y| + |y|² ≤ x² − 2xy + y²

Enxergamos ambos os lados da desigualdade como a expansão do quadrado de uma diferença (produtos notáveis):

    ⟺   (|x| − |y|)² ≤ (x − y)²

Pela propriedade 3, podemos substituir no lado direito

• (x − y)² = |x − y|²

e a desigualdade fica

    ⟺   (|x| − |y|)² ≤ |x − y|²   (∗)

Falta apenas alguns passos. Estudemos os casos possíveis:

• Caso (i): |x| ≥ |y|.

Neste caso, temos uma desigualdade entre quadrados de dois números reais não-negativos, pois

• |x| − |y| ≥ 0
• |x − y| ≥ 0

Como a raíz quadrada é uma função crescente, o sentido da desigualdade se mantém para as bases da potência. Dessa forma, por (∗) concluímos

    ⟹   |x| − |y| ≤ |x − y|

• Caso (ii): |x| < |y|.

Neste outro caso, temos

     ⟺   |x| − |y| < 0   (∗∗)

Se x = y, então ambos teriam módulos iguais e a diferença |x| − |y| seria igual a zero. Mas isso contradiz a hipótese que |x| − |y| < 0. Portanto, devemos ter x ≠ y. Então, segue que

     ⟹  x − y ≠ 0

     ⟺   |x − y| ≠ 0

     ⟺   |x − y| > 0   (∗∗∗)

Portanto, por (∗∗) e (∗∗∗), temos

     ⟹   |x| − |y| < 0 < |x − y|

     ⟹   |x| − |y| < |x − y|

     ⟹   |x| − |y| ≤ |x − y|

como queríamos demonstrar.

Bons estudos! :-)