Question

Numa pg o primeiro termo é 4 e o último é 256 e a soma dos termos é 340 quantos termos tem a pg

Answer 1

Nosso objetivo é descobrir a posição "n" do último termo, pois a posição do último termo é a quantidade de termos da P.G.

A partir do Termo Geral de uma P.G. conseguimos estabelecer a seguinte relação:

$a_n=a_1\cdot q^{(n-1)}$

$256=4\cdot q^{(n-1)}$

$\frac{256}{4} =q^{n-1}$

$64=q^{(n-1)}$

$64q=q^n$

Agora usamos a fórmula da soma dos "n" termos de uma P.G.

$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

$340=\frac{4(q^n-1)}{q-1}$

$340(q-1)=4(q^n-1)$

$340q-340=4q^n-4$

Podemos substituir este $q^n$ por $64q$ como vimos na relação descoberta pelo Termo Geral:

$340q-340=4\cdot 64q-4$

$340q-340=256q-4$

$340q-256q=340-4$

$84q=336$

$q=\frac{336}{84}$

$q=4$

E finalmente, agora que sabemos o valor da razão "q", podemos substituir na primeira ralação para descobrir o valor de "n" que procuramos:

$64q=q^n$

$64\cdot 4=4^n$

$256=4^n$

$4^4=4^n$

$4=n$

$\boxed{n=4}$

Esta P.G. tem 4 termos.

(4, 16, 64, 256)