Question

3) Nos itens abaixo, desenhe a região R e determine a área dessa região. a) R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = - x ^ 2 + 4x - 3 b) Ré a região limitada pelas curvas y = x²ey=-x²+4.​

Answer 1

A área da região limitada pela curva y=-x²+4x-3 e pelo eixo X é igual a 1,333 u. a. vide anexo itemA

A área da região limitada pelas curvas y = x² e y=-x²+4 é igual a 3,77 u. a. Vide anexo itemB

Cálculo da área através da integral

No item a, é possível calcular a área limitada pelo eixo X e a curva y = -x²+4x-3. Primeiro, encontramos as raízes da curva y, fazendo y=0, temos,

-x²+4x-3=0

Δ=4²-4*(-1)*(-3)

Δ=16-12

Δ=4

√Δ=√4=2

x1=(-4+2)/-2

x1=-2/-2

x1=1

x2=(-4-2)/-2

x2=-6/-2

x2=3

Para se encontrar a área definida pela função y=-x²+4x-3,

encontramos a integral dessa função e calculamos a integral, no intervalo definido pelas raízes x1 e x2

$\int\limits^3_1 {-x^{2} +4x-3} \, dx$

Ao desenvolver a integral da equação, encontramos,

$\frac{x^{3} }{3} +\frac{4x^{2} }{2} -3xdx$

e aplicamos essa equação aos dois valores das raízes da equação original, fazendo a diferença entre os resultados, portanto, a área delimitada pela equação original, será,

$A = -\frac{3^{3} }{3} +4\frac{3^{2} }{2} -3*3 -(\frac{1^{3} }{3} +4\frac{1^{2} }{2} -3*1)\\ A=-\frac{27}{3} +4*\frac{9}{2} -9-(-\frac{1}{3} +2-3)\\A=-9+18-9-(-\frac{1}{3} -1)\\A=0+1\frac{1}{3}\\A =1,3333$

No item b temos duas parábolas, a primeira y=x², com o ponto mínimo em (0,0) e segunda, y=-x²+4 com máximo em (0,4). Precisamos encontrar, primeiro, os pontos em que as duas se cruzam ou se igualam,  ou seja, os pontos em que,

x²=-x²+4

2x²=4

x²=4/2

x²=2

x=±√2

Ou seja, as duas equações se igualam nos pontos em que x=-√2 e x=+√2.

Portanto, a integral da diferença entre as duas será calculadas de -√2 a +√2.

Agora, fazemos a diferença entre as duas equações,

-x²+4-x²  = -2x²+4

Fazendo a integral do módulo da equação resultante, temos,

∫|-2x²+4| dx = |(-2x³)/3 +4x)| dx

Para calcular a área, aplicando a diferença entre os dois pontos, temos,

A=|-2*√2³/3 +4√2 -(-2*(-√2)³/3 +4√2)|

A= |-2*√2³/3 +4√2+2*(-√2)³/3 -4√2|

A= |-2*√2³/3 +2*(-√2)³/3|

A= |-4√2³/3|

A= 4√2³/3

A = 3,77

Saiba mais sobre Área definida por Integral​, em: https://brainly.com.br/tarefa/48862081

#SPJ1