Question

Utilizando uma única vez todos os algarismos escreva todos os números de três algarismos g são divisíveis por 2 ,5 e 10?

Answer 1

Os números de três dígitos divisíveis por 2, 5 e 10, sem repetir nenhum algarismo, são 72 em seu total. São eles: 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 210, 230, 240, 250, 260, 270, 280, 290, 310, 320, 340, 350, 360, 370, 380, 390, 410, 420, 430, 450, 460, 470, 480, 490, 510, 520, 530, 540, 560, 570, 580, 590, 610, 620, 630, 640, 650, 670, 680, 690, 710, 720, 730, 740, 750, 760, 780, 790, 810, 820, 830, 840, 850, 860, 870, 890, 910, 920, 930, 940, 950, 960, 970, 980.

Para realizar este exercício vamos analisar alguns critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2, 5 e 10

Em Teoria Aritmética dos Números conseguimos demonstrar que:

• Um número é divisível por 2 se, e somente se, seu último algarismo for também múltiplo de 2 (0, 2, 4, 6 ou 8);

• Um número é divisível por 5 se, e somente se, seu último algarismo for 5 ou 0;

• Um número é divisível por 10 se, e somente se, seu último algarismo for 0.

Intersecção entre os critérios de divisibilidade

Analisando os critérios acima podemos observar que somente quando o útlimo algarismo for 0 é que o número será divisível por 2, 5 e 10 simultaneamente.

Analisando o intervalo dado

Considerando o intervalo de 100 à 999 temos, a cada 100 números (ou seja, 9 intervalos), 10 números terminados em zero (9 * 10 = 90)

Porém a cada 10 temos 2 que não se encaixam no seguinte critério:

• "...utilizando uma única vez todos os algarismos..."

São eles: 100 e 110, 200 e 220, 300 e 330.... Sendo assim temos na verdade:

9 * (10 - 2)

= 9 * 8

= 72

E são eles:

{120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190,

210, 230, 240, 250, 260, 270, 280, 290,

310, 320, 340, 350, 360, 370, 380, 390,

410, 420, 430, 450, 460, 470, 480, 490,

510, 520, 530, 540, 560, 570, 580, 590,

610, 620, 630, 640, 650, 670, 680, 690,

710, 720, 730, 740, 750, 760, 780, 790,

810, 820, 830, 840, 850, 860, 870, 890,

910, 920, 930, 940, 950, 960, 970, 980}

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