Question

Como fazer a derivada?$f(x)=\sqrt{\frac{lnx}{e^{2} }$

Answer 1

Usando diferentes propriedades de derivação, potenciação e radiciação, obtém-se:

1 / (2 . e . x . (raiz quadrada de ln (x) ))

Antes de fazer o cálculo da derivada , pode-se simplificar a função.

Sejam :

$a~ {;}~b~\in\mathbb{R}~~~e ~~"u" e ~"v"$ expressões em " x "

Observação → Logaritmo na base "e" igual a escrever " ln ".

Manteve-se a base explicita para que se tenha presente o que significa

falar em " logaritmo neperiano".

$f(x)=\sqrt{\dfrac{\log_{e}x}{e^2}}=\dfrac{\sqrt{\log_{e}x}}{\sqrt{e^2}}$

Usou-se a propriedade

$\sqrt{\dfrac{a}{b} } =\dfrac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} }$

Usando outra propriedade simplifica-se o denominador.

$(\sqrt[n]{a^n}) = a$    

para $a > 0$

Aqui como temos "e = 2,7182818284590452353602874713527.. " , chamado número de Neper.

Que é um valor maior que zero.    

$f(x)=\sqrt{\dfrac{\log_{e}x}{e^2}}=\dfrac{\sqrt{\log_{e}x}}{\sqrt{e^2}}=\dfrac{\sqrt{\log_{e}x}}{e}=\dfrac{1}{e} \cdot\dfrac{\sqrt{\log_{e}x}} {1}=\dfrac{1}{e}\cdot \sqrt{\log_{e}x}$

Isolou-se o valor $\dfrac{1}{e}$  por ser um valor constante.

• calcular agora a derivada de um produto

$(u\cdot v )'= u'\cdot v+u\cdot v'$

$(\dfrac{1}{e}\cdot \sqrt{\log_{e}x})'=(\dfrac{1}{e})' \cdot \sqrt{\log_{e}x}+\dfrac{1}{e}\cdot (\sqrt{\log_{e}x})'=0+\dfrac{1}{e}\cdot (\sqrt{\log_{e}x})'$

Na primeira parcela tem-se a derivada de um valor constante a multiplicar por uma expressão em "x".

• derivada de uma constante é zero, assim primeira parcela é nula

• de seguida só calcular valor do segundo fator na segunda parcela

• no fim junta-se o primeiro fator  $\dfrac{1}{e}$

$\dfrac{1}{e}\cdot (\sqrt{\log_{e}x})'$

Temporariamente abandona-se  $\dfrac{1}{e}$

Cálculo auxiliar

$(\sqrt{\log_{e}x})'$  

Usando a propriedade de transformação de radical em potência de expoente fracionário

$\sqrt[n]{a^b} =(~a~)^{\dfrac{b}{n} }$               ( * )

Fim de cálculo auxiliar

Com outra propriedade de derivação :

$(u^{k})'=k\cdot u^{k-1} \cdot u'$

$(\sqrt{\log_{e}x})'\\~\\=((\log_{e}x)^{\dfrac{1}{2}})'$

Usando a propriedade :   $(x)'= 1$

$=\dfrac{1}{2}\cdot (\log_{e}x)^{\dfrac{1}{2}-1})\cdot (\log_{e}x)'\\~\\=\dfrac{1}{2}\cdot (\log_{e}x)^{\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{2}})\cdot \dfrac{x'}{x}\\~\\=\dfrac{1}{2}\cdot (\log_{e}x)^{-\dfrac{1}{2}})\cdot \dfrac{1}{x}$

Com a propriedade de mudança de sinal do expoente uma potência:

$a^{-b} =(\dfrac{1}{a} )^b$

Invertendo a base da potência , com mudança de sinal do expoente

$=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{(\log_{e}x)^{\dfrac{1}{2}})}\cdot\dfrac{1}{x}$

• Agora usando a passagem de potência de expoente fracionário para radical. O oposto de que se fez em (*)

 

 $\\~\\=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\log_{e}x}}\cdot\dfrac{1}{x}\\~\\\\ =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\log_{e}x}}\\~\\\\=\dfrac{1}{2x\sqrt{log_{e}(x)}}$

Finalmente reintroduzindo o fator  $\dfrac{1}{e}$

$\dfrac{1}{e}\cdot \dfrac{1}{2x\sqrt{log_{e}(x)}}\\~\\\\=\dfrac{1}{2ex\sqrt{log_{e}(x)}}\\~\\\\=\dfrac{1}{2ex\sqrt{ln(x)}}$

 

Saber mais sobre derivadas, com Brainly:

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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( . ) multiplicação    $(\cdot)$  multiplicação   ( ' ) derivação ; cálculo de derivada  

( / )  divisão    ( ln)  logaritmo neperiano

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.        

Answer 2

Ao usarmos a regra da cadeia podemos concluir que a derivada da função é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\frac{1}{2ex\sqrt{ln(x)} } }} }$

Ou racionalizando o denominador temos

$\Large\text{ \boxed{\boxed{\frac{\sqrt{\ln \left(x\right)}}{2ex\ln \left(x\right)} }} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Bem temos que derivar a seguinte e função

$F(x)= \sqrt{\dfrac{ln(x)}{e^2} }$

Mas, perceba que podemos simplificar essa função

Aplicando as propriedades da racionalização temos

     $\boxed{\sqrt{\dfrac{a}{b} } = \dfrac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} }}$    e   $\boxed{\sqrt[2]{a^2} =a}$

Então podemos dizer que

$\sqrt{\dfrac{ln(x)}{e^2} }\Rightarrow \dfrac{\sqrt{ln(x)} }{\sqrt{e^2} } \Rightarrow \boxed{\dfrac{\sqrt{ln(x)} }{e}}$

Bem então queremos achar a derivada da função $F(x)=\dfrac{\sqrt{ln(x)} }{e}$

Antes de começarmos vamos relembrar algumas propriedades da derivação

• Reescrever uma derivada com  constante

      $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{X}{C} \right)= \dfrac{1}{C} \cdot \dfrac{dy}{dx}(X)}$

• Derivada de uma raiz quadrada

      $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{x} \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x} } }$

• Derivada de um logaritmo natural

      $\boxed{\dfrac{dy}{dx} \left(ln(x)\right)=\dfrac{1}{x} }$

Com isso em mente podemos resolver a derivada

     $\dfrac{dy}{dx}\left( \dfrac{\sqrt{ln(x)} }{e} \right)$

Perceba que temos uma constante no denominador  então podemos por ela pra fora da derivada

$\dfrac{dy}{dx}\left( \dfrac{\sqrt{ln(x)} }{e} \right)\\\\\\\boxed{\dfrac{1}{e} \cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{ln(x)} \right)}$

agora perceba que não sabermos resolver essa derivada, pois ela é um função composta

Para resolver esse problema usamos a REGRA DA CADEIA  

• Regra da cadeia é uma método para derivarmos funções compostas

• $\boxed{\boxed{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx} }}$

• Chamaremos uma parte da derivada e U  de modo que conseguiremos derivar, e em seguida multiplicaremos pela derivada da parte que chamamos de U

$U=ln(x)$

Aplicando regra da cadeia

$\dfrac{1}{e} \cdot \dfrac{dy}{dx} \left(\sqrt{ln(x)} \right)\\\\\\\dfrac{1}{e} \cdot \dfrac{dy}{du} \left(\sqrt{u} \right)\cdot \dfrac{du}{dx} (ln(x))\\\\\\\dfrac{1}{e} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u} } \cdot \dfrac{1}{x} \\\\\\\boxed{\dfrac{1}{2ex\sqrt{u} } }$

Transformando U em ln(x) temos

$\dfrac{1}{2ex\sqrt{u} }$

$\boxed{\dfrac{1}{2ex\sqrt{ln(x)} } }$

Essa é a  nossa derivada. Mas, talvez seu professor queira  com o denominador racionalizado então vamos racionalizar esse denominador

• Racionalizar o denominador significa tirar a raiz do denominador

Então vamos lá

$\dfrac{1}{2ex\sqrt{ln(x)} } \\\\\\\dfrac{1}{2ex\sqrt{ln(x)} } \cdot \dfrac{\sqrt{ln(x)} }{\sqrt{ln(x)} } \\\\\\\dfrac{\sqrt{ln(x)} }{2ex\sqrt[2]{(ln(x))^2} } \\\\\\\boxed{\dfrac{\sqrt{ln(x)} }{2exln(x) }}$

Achamos nossa derivada com o denominador racionalizado

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