Um número de 5 dígitos (ABCDE) tem a seguinte propriedade:
Se colocarmos o algarismo 1 no final deste número (formando um número de 6 dígitos => ABCDE1) teremos um número 3 vezes maior que aquele que encontramos se colocarmos o algarismo 1 no início deste número (formando outro número de 6 algarismos => 1ABCDE)
Determine a soma dos algarismos deste número de 5 dígitos (ABCDE)
Respostas
A soma dos algarismos (dígitos) representados pelas letras A, B, C, D e E é 26.
Para realizar este exercício vamos analisar a multiplicação ordem por ordem. Para uma explicação mais elegante e algébrica, confira a outra resposta entregue à pergunta.
Adotando uma estratégia
Vamos nos valer do algoritmo da multiplicação e analisar o produto de 1ABCDE por 3, ordem por ordem, da casa das unidades até a casa das centenas de milhar. Observe que, na tabuada do 3 (do 1 ao 10), o último algarismo do produto sempre será distinto do último algarismo dos outros produtos.
1⠀A⠀B⠀C⠀D⠀E
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀x⠀3
____________
A⠀B⠀C⠀D⠀E⠀1
Descobrindo E
Qual algarismo que, quando multiplicado por 3, resulta em um número de último algarismo 1? 3 · 7 = 21, ou seja, o D = 7:
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀+2
1⠀A⠀B⠀C⠀D⠀7
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀x⠀3
____________
A⠀B⠀C⠀D⠀7⠀1
Descobrindo D
Temos agora que:
2 + 3 · D = 7
3 · D = 5
Qual algarismo que, quando multiplicado por 3, resulta em um número de último algarismo 5? 3 · 5 = 15, ou seja, o D = 5:
⠀⠀⠀⠀⠀ +1 +2
1⠀A⠀B⠀C⠀5⠀7
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀x⠀3
____________
A⠀B⠀C⠀5⠀7⠀1
Descobrindo C
Temos agora que:
1 + 3 · C = 5
3 · C = 4
Qual algarismo que, quando multiplicado por 3, resulta em um número de último algarismo 4? 3 · 8 = 24, ou seja, o C = 8:
⠀⠀⠀+2 +1 +2
1⠀A⠀B⠀8⠀5⠀7
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀x⠀3
____________
A⠀B⠀8⠀5⠀7⠀1
Descobrindo B
Temos agora que:
2 + 3 · B = 8
3 · B = 6
Qual algarismo que, quando multiplicado por 3, resulta em um número de último algarismo 6? 3 · 2 = 6, ou seja, o B = 2:
⠀⠀⠀+2 +1 +2
1⠀A⠀2⠀8⠀5⠀7
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀x⠀3
____________
A⠀2⠀8⠀5⠀7⠀1
Descobrindo A
Temos por fim que:
3 · A = 2
Qual algarismo que, quando multiplicado por 3, resulta em um número de último algarismo 2? 3 · 4 = 12, ou seja, o A = 4:
+1⠀⠀+2 +1 +2
⠀1⠀4⠀2⠀8⠀5⠀7
⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀x⠀3
⠀____________
⠀4⠀2⠀8⠀5⠀7⠀1
Confirmando A
Temos, por fim, que:
1 + 3 · 1 = 4
4 = 4
Assim podemos concluir que:
- A = 4
- B = 2
- C = 8
- D = 5
- E = 7
E assim A + B + C + D + E = 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 26.
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#SPJ1
A soma dos algarismos desse número é 26.
- Para fazer o equacionamento matemático do enunciado, considere que a sequência de letras abcde representam dígitos do número. Conforme o enunciado:
abcde1 = 3 × 1abcde ⟹ Subtraia 1 de ambos os membros.
abcde0 = (3 × 1abcde) − 1 ①
Observe que:
- abcde0 = 10 × abcde.
- No número 1abcde, o algarismo 1 vale 1×10⁵, portanto:
1abcde = 10⁵ + abcde.
- Substitua esses valores na equação ①.
abcde0 = (3 × 1abcde) − 1 ①
10 × abcde = [3 × (10⁵ + abcde)] − 1 ⟹ Substitua abcde por x.
10x = [3 × (10⁵ + x)] − 1 ⟹ Desenvolva o segundo membro.
10x = [3×10⁵ + 3x] − 1 ⟹ O colchete pode ser retirado.
10x = 3×10⁵ + 3x − 1 ⟹ Subtraia 3x de ambos os membros.
7x = 3×10⁵ − 1
7x = 300.000 − 1
7x = 299.999 ⟹ Divida ambos os membros por 7.
x = 42857 ⟹ Substitua x pela sequência de algarismos.
abcde = 42857 ⟹ Determine a soma dos algarismos.
a + b + c + d + e = 4 + 2 + 8 + 5 + 7
a + b + c + d + e = 26
A soma dos algarismos desse número é 26.
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