Question

Cálculo Diferencial e Integral I e Análise Matemática:

Apresente as seguintes definições relacionadas às integrais. O objetivo das definições das letras (a), (b) e (c) é apresentarmos o suficiente para podermos chegar na definição correta da letra (d).

a) Partição de um intervalo fechado.
b) Soma superior e soma inferior de uma função.
c) Integral Inferior e Integral Superior.
d) Função integrável.

Answer 1

Resposta:

a) partição de um intervalo $[a,b]$ é uma sequencia limitada, inferiormente e superiormente, do tipo $a=a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n=b$ (ou seja, numeros entre os extremos do intervalos organizados de forma estritamente crescente e cada $[a_i,a_{i+1}]$ é um sub-intervalo da partição.

b) Para cada sub-intervalo da partição temos $M_i=max\{f(x)|x\in [a_i,a_{i+1}]\}$ e $m_i=inf\{f(x)|x\in [a_i,a_{i-1}]\}$. Chamamos de Soma Superior a soma que leva cada $\Delta x$ em $M_i$, ou seja  $S_S=\sum_{i=1}^{n}((M_i)\times (\Delta x))$, e usando o raciocínio análogo temos que a Soma Inferior é $S_I=\sum_{i=1}^{n}((m_i)\times (\Delta x))$

c) Integral Superior é dada como o infimo das somas superiores

$inf\{S_S(P,f)|P\in([a,b])\}$, onde $f$ é função definida em $[a,b]$ e $P$ uma partição de $[a,b]$

Integral Inferior é dada como o supremo das somas inferiores $sup\{S_I(P,f)|P\in([a,b])\}$ onde $f$ é função definida em $[a,b]$ e $P$ uma partição de $[a,b]$

d) Uma função é dita integravel quando $sup\{S_I(P,f)|P\in([a,b])\}=inf\{S_S(P,f)|P\in([a,b])\}$, para esse número real utilizamos a notação

$\int_a^b f(x)dx$

Acho que era isso... tem uma pancada de demonstração intermediária, mas acho que da pra entender com isso dai... bons estudos