Question

Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos:

a) P pertence ao eixo Oy e é equidistante de A e B.

(PS: Já tem uma questão assim já respondida aqui no Brainly e no Yahoo também, porém eu queria passo à passo, e bem explicado. A resposta eu já tenho no final da apostila, eu só desejo compreender esse problema.)

Disciplina: Álgebra Vetorial, ensino superior.

Answer 1

Veja que as coordenadas de P são:   (0,y) pois todos os pontos sobre o eixo Oy tem abscissa igua a zero

Se este ponto é equidistante dos pontos A e B então a distância dPA = dPB

Por isso podemos escrever a equação, de acordo com a fórmula da Geometria Analítica do cálculo da distância entre dois pontos:

$d_{AP}=\sqrt{(0+4)^2+(y-3)^2}\\ d_{AC}=\sqrt{(0-2)^2+(y-1)^2}\\ \\ Resolvendo:\\ \\ \sqrt{(0+4)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(0-2)^2+(y-1)^2}\\\\ \\ (0+4)^2+(y-3)^2=(0-2)^2+(y-1)^2\\ \\ 16+y^2-6y+9=4+y^2-2y+1\\ \\ -6y+2y=5-25\\ \\ -4y=-20\\ \\ y=5$

Answer 2

Fórmula para calcular a distância ==> d²=(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²

Ele quer o valor do ponto P, como o enunciado diz que esse ponto é equidistante de A e B, quer dizer que esse ponto P está no meio entre A e B;

A----------P----------B    <==Ponto P equidistante quer dizer que ele está no meio dos dois pontos

Ele também diz que o ponto P pertence ao eixo Oy, que significa que este ponto está no eixo das ordenadas (eixo y), e se está no eixo no y, obrigatoriamente o X vale 0, logo;

P(0,y)

Portanto, devemos encontrar a distância de A até P, e de P até B, então é só igualarmos a fórmula;

Fórmula da distância ==> d²=(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²

Igualando uma a outra ==> (Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²=(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²

Agora vamos substituir os valores.

*Lembrando que já temos o valor de X do ponto P que vale 0

Substituindo, temos;

(Xp-Xa)²+(Yp-Ya)²=(Xp-Xb)²+(Yp-Yb)²
(0-(-4))²+(y-3)²   =   (0-2)²+(y-1)²
 16 + y² - 6y + 9 = 4 + y² - 2y + 1
 y² - 6y + 25 - y² + 2y = 5
 -4y = 5-25
 -4y = -20 (-1) 
  4y = 20
   y = 20/4
   y = 5

X =0
Y=5

Portanto, P(0,5)