Question

Calcule lim [sen(x+h) -sen x]/h quando h tende a zero.

Answer 1

Olá,

lim [sen(x+h)-sen(x)]/h
h ⇒ 0

Sabemos que:

sen(x+h) = sen(x)·cos(h) + sen(h)·cos(x)

Reescrevendo:

lim [sen(x)·cos(h) + sen(h)·cos(x) - sen(x)]/h
h ⇒ 0

Limite da soma/subtração é a soma/subtração dos limites:

lim [sen(x)·cos(h) - sen(x)]/h + [sen(h)·cos(x)]/h 
h ⇒ 0

Sabendo que:

lim [sen(h)·cos(x)]/h = cos(x)· sen(h)/h = cos(x)·1 = cos(x)
h ⇒ 0 

Pois sen(h)/h quando h ⇒ 0 é um limite fundamental

Continuando e colocando sen(x) em evidência no primeiro limite:

lim [sen(x)·(cos(h)-1)]/h + cos(x)
h ⇒ 0

Multiplicando por (cos(h)+1)/(cos(h)+1) o primeiro limite:

Vamos ter:

lim [sen(x)·(cos(h)-1)]/h · (cos(h)+1)/(cos(h)+1) + cos(x)
h ⇒ 0

lim [sen(x)·(cos(h)-1)·(cos(h)+1)]/h·(cos(h)+1) + cos(x)
h ⇒ 0

lim [sen(x)·(cos²(h)-1)]/h·(cos(h)+1) + cos(x)
h ⇒ 0

Sabendo que cos²(h)+sen(h)² = 1 e assim, cos²(h)-1 = -sen²(h)

Substituindo no lugar de (cos²(h)-1) o valor -sen²(h) temos:

lim [sen(x)·(-sen²(h))]/h·(cos(h)+1 + cos(x)
h ⇒ 0

lim [sen(x)·(-sen(h))·(sen(h))]/h·(cos(h)+1) + cos(x)
h ⇒ 0

Separando a fração notamos que:

lim {[sen(x)·(-sen(h))]/(cos(h)+1) · sen(h)/h} + cos(x)
h ⇒ 0

Novamente temos um limite fundamental

lim sen(h)/h = 1
h ⇒ 0

Reescrevendo:

lim {[sen(x)·(-sen(h)]/(cos(h)+1) · 1} + cos(x)
h ⇒ 0

lim [sen(x)·(-sen(h)]/(cos(h)+1 + cos(x)
h ⇒ 0

Calculando o limite:

[sen(x)·(-sen(0)]/(cos(0)+1) + cos(x)

[sen(x)·0]/2 + cos(x)

0/2 + cos(x)

0 + cos(x)

cos(x)

Resposta:

lim [sen(x+h)-sen(x)]/h =  cos(x)
h ⇒ 0

Qualquer dúvida comente!