Respostas
O valor da expressão dada é -3 (opção a).
Para realizar este exercício vamos rever algumas propriedades da função log.
Logaritmo
Uma função da forma xᵃ = b pode ser reescrita como logₓb = a de forma que x é sua base, a seu logaritmo e b seu logaritmando.
Soma de logs
Sempre que tivermos uma soma de logs de mesma base podemos realizar um produto entre seus logaritmandos:
log(1-1/2) + log(1-1/3) + ... + log(1-1/1000)
= log(1-1/2) * (1-1/3) * ... * (1-1/1000)
Subtração de frações
Para realizarmos operações de soma e subtração entre frações primeiro precisamos garantir que os denominadores sejam iguais:
= log(2/2 - 1/2) * (3/3 - 1/3) * ... * (1000/1000 - 1/1000)
= log(1/2) * (2/3) * (3/4) * ... * (999/1000)
Simplificando a operação
Podemos agora observar que quase todos os termos do numerador aparecem também no denominador, o que nos permite simplificar esta fração de forma que:
= log(1*2*3*4*...*999 / 2*3*4*...*1000)
= log(1 / 1000)
Divisão no logaritmando
Podemos reescrever uma divisão no logaritmando como sendo uma subtração entre logs de mesma base:
= log1 - log1000
Reescrevendo logs com potências de 10
= log10⁰ - log10³
Tombando o expoente do logaritmando
Outra propriedade dos logs que podemos utilizar é abaixar o expoente do logaritmando como um fator a multiplicar o log, de forma que:
= 0 * log10 - 3 * log10
Por fim, lembrando que log10 = log₁₀10 ⇒ 10ˣ = 10¹ temos que log10 = 1, ou seja:
= 0 * 1 - 3 * 1
= -3
Assim podemos concluir que a opção correta é a a).
Continue estudando sobre logaritmos aqui: https://brainly.com.br/tarefa/39951353
#SPJ1