Question

Se (2+√2)³ = a+b√2, com a e b inteiros, então a soma a+b vale:

A) 8; B) 10; C) 14; D) 16.

Answer 1

Usando a fórmula do Cubo de uma Soma, obtém-se:

a + b = 34

Fórmula do Cubo de uma Soma

$\Large (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Neste caso :      

$(2+\sqrt{2})^3$

$a=2$

$b=\sqrt{2}$  

Nota → estes "a" e "b" não são os do exercício.

$=2^3+3\cdot 2^2 \cdot\sqrt{2}+3\cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2^1})^3\\~\\=8+12\sqrt{2}+6\cdot 2+\sqrt{2^{(1~\cdot~ 3)}}\\~\\=8 +12+12\sqrt{2}+\sqrt{2^2\cdot2}\\~\\=20+12\sqrt{2}+\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}\\~\\=20+12\sqrt{2}+2\sqrt{2}\\~\\=20+(12+2)\sqrt{2}\\~ \\=20+14\sqrt{2}$

a = 20  

b = 14

$a+b=20+14=34$

Propriedades usadas:

• $(\sqrt{2})^3 =(\sqrt{2^1})^3 =\sqrt{2^{(1\cdot3)} } =\sqrt{2^3}$

• $\sqrt{2^2} =\sqrt[2]{2^2} =2$

• $\sqrt{c^n}=\sqrt{c^{(n-1)}\cdot x^{1} } =\sqrt{c^{(n-1)} } \cdot \sqrt{c^1}$

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.