Determine as dimensoes de um cilindro circular reto com o maior volume possivel que possa ser inscrito em uma esfera de raio 10cm.
Respostas
As dimensões do cilindro para que tenha o maior volume é (10/3)√6 cm de raio e 10√3/3 cm de altura.
Sólidos geométricos
Figuras espaciais, ou sólidos, são figuras tridimensionais compostas por largura, comprimento e profundidade (altura).
O cilindro circular reto inscrito na esfera forma um triângulo retângulo entre seu raio e sua meia altura (catetos) com o raio da esfera (hipotenusa). Pelo teorema de Pitágoras, temos que:
R² = r² + h²
10² = r² + h²
h² = 100 - r²
h = (100 - r²)^(1/2)
Como o volume do cilindro é dado por V = πr²h, substituindo o valor de h:
V = πr²·√(100 - r²)
Para o volume máximo, devemos encontrar a derivada do volume e igualar a zero. Pela regra do produto:
dV/dr = 0
2πr·√(100 - r²) + πr²·(-r/√(100 - r²)) = 0
π·(2r√(100 - r²) - r³/√(100 - r²)) = 0
π·(-3r³ + 200x)/√(100 - r²) = 0
-3r³ + 200r = 0
r² = 200/3
r = 10√2/√3
r = (10/3)√6 cm
Logo, teremos:
h² = 100 - r²
h² = 100 - 200/3
h = 10√3/3 cm
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