Question

As transformações de Laplace, empregadas por exemplo na resolução de certos problemas de valor inicial, são lineares, oque possibilita o estudo das transformada de certas combinações de funções seja de uma variável real definida da seguinte forma f(t) = 2 e^t + sin(t) . Com base na linearidade da transformada, qual das seguintes alternativas representa corretamente a transformada de Laplace dada função f?

Answer 1

Ao usarmos a tabela as propriedades de Laplace podemos concluir que a alternativa que representa a transformada de Laplace da função $f(t)=2e^t+sin(t)$ é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{F(s)=\frac{2}{s-1}+\frac{1}{s^2+1}}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Transformação de Laplace

A transformação de Laplace é muito usada no estudo de equações diferencias quando possuímos uma equação em função do tempo.

Usamos Laplace para que a função deixe de ser um função de domínio do Tempo e passe a ser um função do domínio S que é um número genérico .

Para resolver essa questão basta sabermos algumas propriedades  e funções tabeladas de Laplace.

• Soma de funções em Laplace .

$L[Xf(t)\pm Yg(t)]=L[Xf(t)]\pm L[Yg(t)]$

• Transformação de Euler elevado ao uma variável T em  Laplace.

   $L(e^{at})=\dfrac{1}{s-a}$

• Transformação do Seno em Laplace

    $L(Sen(at)=\dfrac{a}{s^2+a^2}$

Com isso em mente vamos resolver a  questão.

$\LargeL(2e^t+Sen(t))$

$\LargeL(2e^t)+ L(Sen(t))\\\\\\\Large2\cdot \dfrac{1}{s-1} + \dfrac{1}{s^2+1^2} \\\\\\\Large\text{ \boxed{\dfrac{2}{s-1} + \dfrac{1}{s^2+1^2} } }$

Assim podemos reescrever nossa função do tempo para.

$\Large\text{ \boxed{F(s)=\dfrac{2}{s-1} + \dfrac{1}{s^2+1} } }$

Aprenda mais sobre a transformação de Laplace:

https://brainly.com.br/tarefa/49815634

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