Question

O tempo médio de reação de um motorista (tempo que decorre entre perceber um perigo súbito e aplicar os freios) é da ordem de 0,7 s. Um carro com bons freios, numa estrada seca, pode ser freado a a 6 m/s². Calcule a distância mínima que um carro percorre depois que o motorista avista o perigo, quando ele trafega a 30 km/h, a 60 km/h e a 90 km/h.

Answer 1

Resposta:

O problema pode ser resumido desta forma: Ao avistar o perigo, o motorista leva 0,7 s até acionar os freios. Neste intervalo de tempo, o carro se desloca em movimento uniforme. Em seguida, passa a se deslocar em movimento uniformemente variado, à aceleração constante de $a = -6\,\,m/s^2$, até parar completamente.

Resolvamos inicialmente o problema geral para uma $v_0$ qualquer.

Seja $x_1$ a posição final do carro após o primeiro trecho do deslocamento, i.e., antes de se acionarem os freios. Calculemo-la:

$x_1 = x_0 + v_0\cdot t_1\\\\\Longleftrightarrow x_1 = 0 + v_0 \cdot 0,7\\\\\Longleftrightarrow \boxed{x_1 = 0,7\cdot v_0}$

Em seguida, o motorista aciona os freios do veículo. Calculemos o tempo necessário para o veículo parar:

$v = v_0 + a\cdot t_2\\\\\Longleftrightarrow 0 = v_0 - 6\cdot t_2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{t_2 = \frac{v_0}{6}}$

Calculemos agora a posição final do veículo:

$x_f = x_1 + v_0\cdot t_2 + \big{\frac{1}{2}\cdot a \cdot (t_2)^2 }\\\\\Longleftrightarrow x_f = 0,7\cdot v_0 + v_0 \cdot \big{\frac{v_0}{6}} + \big{\frac{1}{2} }\cdot \left(-6\right) \cdot \big{\left(\frac{v_0}{6} \right)^2}\\\\\Longleftrightarrow x_f = 0,7\cdot v_0 + \big{\frac{1}{6} }\cdot v_0^2 - \big{\frac{1}{12} }\cdot v_0^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{x_f = 0,7\cdot v_0 + \big{\frac{1}{12} }\cdot v_0^2}$

Obtivemos, assim, a função que associa a velocidade inicial $v_0$ ao deslocamento total do veículo.

Resolvamos o problema para as três velocidades iniciais dadas:

$i)\,\,\,v_0 = 30\,\,km/h \approx 8,33\,\,m/s:\\\\x_f = 0,7\cdot 8,33 + \big{\frac{1}{12}} \cdot 8,33^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{x_f = 11,6\,\,m.}}$

$ii)\,\,\,v_0 = 60\,\,km/h \approx 16,67\,\,m/s:\\\\x_f = 0,7\cdot 16,67 + \big{\frac{1}{12}} \cdot 16,67^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{x_f = 34,8\,\,m.}}$

$iii)\,\,\,v_0 = 90\,\,km/h = 25 \,\,m/s:\\\\x_f = 0,7\cdot 25 + \big{\frac{1}{12}} \cdot 25^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{x_f = 69,6\,\,m.}}$