Question

Utilizando o princípio da indução matemática, resolva: 2 + 6 + 10 + ... (4n - 2) = 2n²

Answer 1

Resposta:

Olá boa tarde!

Na base, a proposição deve valer para n = 1.

4.1 - 2 = 4 - 2 = 2

2(1)² = 2.1 = 2

ok!

A hipótese de indução é n = k:

2 + 6 + 10 + ... + (4k - 2) = 2k²

E para comprovar, deve valer para n = k + 1

2 + 6 + 10 + ... + (4k - 2) + [4(k + 1) - 2] = 2(k+1)²

Desenvolvendo o binômio no segundo membro:

2 + 6 + 10 + ... + 4k - 2 + [4(k + 1) - 2] = 2(k² + 2k + 1)

2 + 6 + 10 + ... + 4k - 2 + [4(k + 1) - 2] = 2k² + 4k + 2

Passando 4k + 2 para o primeiro membro:

2 + 6 + 10 + ... + 4k - 2 + [4k + 4) - 2] - 4k - 2 = 2k²

Reorganizando e agrupando os termos semelhantes:

2 + 6 + 10 + ... + 4k - 2 + 4k - 4k + 4 - 4 = 2k²

2 + 6 + 10 + ... + 4k - 2 + 0 + 0 = 2k²

2 + 6 + 10 + ... + 4k - 2 = 2k²

Como queríamos demonstrar!