Matéria: Matemática
Autor: alexandresilvad4058
Perguntado 3 anos atrás

Dados os pontos A(-1,0,3), B(4,6,-2), C(4,3,4),
obtenha a equação geral do plano alfa que passa por estes pontos

Respostas

respondido por: isaquenmonteiro

A equação geral do plano alfa que passa pelos 3 pontos é expressa por 21x - 30y - 15z +66 = 0.

Equação geral de um plano

De forma simplificada, podemos definir uma equação geral de um plano da seguinte forma:

Considerando um plano alfa (como nesse caso) e também que a sua equação geral pode ser expressa como ax+by+cz+d=0, na qual a, b, c e d representam números no conjunto dos reais que não são nulos ao mesmo tempo, um vetor que passa no plano alfa é certamente ortogonal a qualquer outro vetor paralelo a este mesmo plano.

Determinantes de matrizes

Podemos utilizar o determinante de uma matriz para verificar se três pontos específicos estão no mesmo plano, alinhados entre si mesmo, que seria exatamente o que se quer nessa questão.

So se pode realizar o cálculo de determinantes em matrizes quadradas, que tem o mesmo número de linhas e colunas.

Regra de Sarrus

É um método utilizado para encontrar o determinante de uma matriz 3x3. Primeiro se repete as duas primeiras colunas do lado direito da matriz 3x3.

Após isso deve-se multiplicar os número das diagonais partindo do canto superior esquerdo ao inferior direito, somando o resultado das multiplicações da três diagonais. O mesmo deve ser feito seguindo o sentido inverso, subtraindo os produtos encontrados.

Para encerrar basta efetuar os devidos cálculos e simplificar os termos semelhantes.

Determinando a equação geral do plano alfa

Inicialmente iremos calcular o vetor AB e o vetor AC. Para isso basta subtrairmos B-A e também C-A:

AB = B-A = (4,6,-2) - (-1,0,3) = (5,6,-5)

AC = C-A = (4,3,4) - (-1,0,3) = (5,3,1)

Agora precisamos determinar um outro vetor genérico neste mesmo plano. Vamos considerá-lo como AP. Para determinar suas coordenadas basta subtrairmos P-A. As coordenadas de P serão genéricas (x,y,z):

AP = (x,y,z) - (-1,0,3) = (x+1 , y , z-3)

O próximo passo é encontrarmos o determinante dessas 3 coordenadas por meio de uma matriz. Considerando a imagem abaixo como sendo a matriz que representa essas 3 coordenadas, podemos calcular o determinante por meio da Regra de Sarrus:

15*(z-3) + 6*(x+1) + (-25*y) - [(-15)*(x+1) + 5y + 30*(z-3)] = 0

15z - 45 + 6x + 6 - 25y - [- 15x - 15 + 5y + 30z - 90] = 0

15z - 45 + 6x + 6 - 25y + 15x + 15 - 5y - 30z + 90 = 0