Question

Sobre a série S igual a 1 menos numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração menos numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 4 fim da fração mais. Pode-se afirmar A série é condicionalmente convergente e S menor que 0; A série é absolutamente convergente e S menor que 1; A série é absolutamente convergente e S maior que 1; A série é divergente. A série é condicionalmente convergente e S maior que 0;

Answer 1

Através dos cálculos realizados, concluímos que a série dada é condicionalmente convergente e S maior que 0, logo a alternativa correta é a E).

Critério de Leibnitz

O Critério de Leibnitz para séries alternadas afirma que uma série alternada é convergente caso a série:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\sum ^{\infty}_{n=1} (-1)^n \cdot a_n \end{gathered}$

Cumprir as seguintes condições: An ≥ 0 , lim An = 0 e caso for decrescente.

No caso da nossa questão, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S = 1-\frac{1}{\sqrt{2} }+\frac{1}{\sqrt{3} }-\frac{1}{\sqrt{4} }+\ \cdots \end{gathered} }$

Que é a mesma coisa que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n} } \end{gathered} }$

Perceba que an = 1/√n, com isso, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{n} } \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{ a_n= \frac{1}{\sqrt{n} }\geqslant 0}\ \checkmark\end{gathered} }$

Portanto, a primeira condição confere. Vamos ver se a segunda também confere:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} } = 0} \ \checkmark \end{gathered} }$

Logo a segunda condição confere. Por fim, vamos ver se a terceira também confere:

 $\large\displaystyle\begin{gathered}a_{n+1}\leqslant a_n \end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{1}{\sqrt{n+1} } \leqslant \frac{1}{\sqrt{n} } \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{n} \leqslant \sqrt{n+1} \end{gathered}$

 $\large\displaystyle\begin{gathered}n\leqslant n+1 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{0\leqslant 1 }\ \checkmark \end{gathered}$

Portanto, como todas as condições batem, segundo o critério de Leibnitz temos que a série alternada é convergente. Mas vamos conferir se ela é condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.          

Dizemos que a série ∑un, é absolutamente convergente se a série de valores absolutos |∑un| for convergente. Por outro lado, a série Σun, é dita condicionalmente convergente se ela for convergente mas não for absolutamente convergente. Portanto, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S = \sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n} } \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } \end{gathered} }$

E sabemos que essa série diverge, portanto a série é condicionalmente convergente. E isso nos leva a alternativa E).

Para mais exercícios sobre Critério de Leibnitz, acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/53270873                          

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