Question

Um método possível para medir a aceleração da gravidade g consiste em lançar uma bolinha para cima num tubo onde se fez vácuo e medir com precisão os instantes t1 e t2 de passagem (na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante de lançamento.

Mostre que:

$g = \frac{2z}{t_1t_2}$.

Answer 1

Resposta:

Ao se lançar uma bolinha para cima num tubo a vácuo, sua posição, em função do tempo, será dada por:

$y(t) = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2.$

Sabemos que a posição da bolinha é $z$ quando $t = t_1.$

Assim:

$z = y_0 + v_0t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2\\\\\Longleftrightarrow v_0t_1 = z - y_0 + \frac{1}{2}gt_1^2\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{2z -2y_0 + gt_1^2}{2t_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Sabemos ainda que sua posição também é $z$ quando $t = t_2.$

Logo:

$z = y_0 + v_0t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2\\\\\Longleftrightarrow v_0t_2 = z - y_0 + \frac{1}{2}gt_2^2\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{2z -2y_0 + gt_2^2}{2t_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)$

Igualando $(I)$ a $(II)$, temos:

$\frac{2z -2y_0 + gt_1^2}{2t_1} = \frac{2z -2y_0 + gt_2^2}{2t_2}\\\\\Longleftrightarrow t_2\left(2z - 2y_0 + gt_1^2 \right) = t_1 \left(2z - 2y_0 + gt_2^2 \right)\\\\\Longleftrightarrow 2zt_2 - 2y_0t_2 + gt_1^2t_2 = 2zt_1 - 2y_0t_1 + gt_2^2t_1$

$\Longleftrightarrow gt_1^2t_2 - gt_2^2t_1 = 2zt_1 - 2y_0t_1 - 2zt_2 + 2y_0t_2\\\\\Longleftrightarrow g \left(t_1^2t_2 - t_2^2t_1 \right) = 2t_1 (z-y_0) - 2t_2(z - y_0)\\\\ \Longleftrightarrow g (t_1t_2)(t_1 - t_2) = (2t_1 - 2t_2)(z - y_0)$

$\Longleftrightarrow g = \frac{2(t_1 - t_2)(z - y_0)}{t_1t_2(t_1 - t_2)}\\\\\Longleftrightarrow g = \frac{2(z-y_0)}{t_1t_2}$

Consideremos que a bolinha parte da origem, isto é, $y_0 = 0.$

Assim:

$\Longleftrightarrow g = \frac{2(z - 0)}{t_1t_2}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{g = \frac{2z}{t_1t_2}}$

Q.E.D.