Question

As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F. Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, x + 2z, x + y + 2z) (g) Quais seus autovalores? (h) Quais seus autovetores?

Answer 1

Os autovalores da transformação linear são:

$k_1 = -1; k_2 = 2 + \sqrt{3} ; k_3 = 2 - \sqrt{3}$

E os autovetores associados são, respectivamente:

$v_1 = (x, -x, 0)$

$v_2 = (- \dfrac{(-1 + \sqrt{3})(-5y + \sqrt{3} y)}{2}, y, (3 - \sqrt{3})y)$

$v_3 = (\dfrac{(1 + \sqrt{3})(-5y - \sqrt{3} y)}{2}, y, (3 + \sqrt{3})y)$.

Autovalores e autovetores

Um vetor v, não nulo, é um autovetor da transformação T se, e somente se, existe uma constante real k, tal que:

T(v) = k*v

Nesse caso, dizemos que o vetor v é um autovetor de T associado ao autovalor k.

Substituindo a lei da transformação linear dada na questão, podemos escrever:

T(v) = k*v

(x + 2y + z, x + 2z, x + y + 2z) = k*(x, y, z)

(1 - k)x + 2y + z = 0

x + (-ky) + 2z = 0

x + y + (2 - k)z = 0

Desse sistema de equações lineares concluímos que, os autovalores são:

$k_1 = -1; k_2 = 2 + \sqrt{3} ; k_3 = 2 - \sqrt{3}$

Substituindo cada autovalor encontrado no sistema de equações lineares acima, calculamos que os autovetores associados são dados por:

$v_1 = (x, -x, 0)$

$v_2 = (- \dfrac{(-1 + \sqrt{3})(-5y + \sqrt{3} y)}{2}, y, (3 - \sqrt{3})y)$

$v_3 = (\dfrac{(1 + \sqrt{3})(-5y - \sqrt{3} y)}{2}, y, (3 + \sqrt{3})y)$

Para mais informações sobre transformação linear, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/52500661

#SPJ1