Question

Determine a lei que define a função quadrática:
a) cujo gráfico contém os pontos (-1,-4), (1,2) e (2, -1).​

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a função polinomial do segundo grau - função quadrática -  que passa pelos pontos "A", "B" e "C" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf f(x) = -2x^{2} + 3x + 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Obtendo a função do segundo grau a partir de três pontos dados.

Sejam os pontos pertencentes à parábola - gráfico da função quadrática:

                           $\Large\begin{cases} A(-1, -4)\\B(1, 2)\\C(2, -1)\end{cases}$

Sabemos que toda função do segundo grau em sua forma completa e reduzida pode ser escrita como:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = ax^{2} + bx + c,\:\:\:\textrm{com}\:a\neq0\end{gathered}$

Se:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = y\end{gathered}$

Podemos reescrever a função do segundo grau como:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} ax^{2} + bx + c = y\end{gathered}$

Para resolver esta questão basta encontrar os coeficientes e montar a função.

Então, se os pontos "A", "B" e "C"  pertencem ao gráfico da função, então podemos montar e resolver o seguinte sistema de equações:

            $\Large\begin{cases} a\cdot(-1)^{2} + b\cdot(-1) + c = -4\\a\cdot1^{2} + b\cdot 1 + c = 2\\a\cdot2^{2} + b\cdot2 + c = -1\end{cases}$

Organizando este sistema temos:

               $\Large\begin{cases} a - b + c = -4\\a + b + c = 2\\4a + 2b + c = -1\end{cases}$

Isolando "a" no primeiro membro da primeira equação do sistema organizado temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = -4 + b - c\end{gathered}$

Substituindo o valor de "a" nas dual últimas equação do sistema organizado, temos:

        $\Large\begin{cases} -4 + b - c + b + c = 2\\4\cdot(-4 + b - c) + 2b + c = -1\end{cases}$

Simplificando este último sistema, temos:

                  $\Large\begin{cases} b = 3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bf II\\6b - 3c = 15\:\:\:\bf III\end{cases}$

Substituindo "II" em "III", temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6\cdot3 - 3c = 15\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 18 - 3c = 15\end{gathered}$  

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3c = 15 - 18\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3c = -3\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3c = 3\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} c = \frac{3}{3}\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} c = 1\end{gathered}$

Substituindo os valores de "b" e "c" na equação "I", temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} a = -4 + 3 - 1 = -2\end{gathered}$

Agora chegamos aos seguintes coeficientes:

                                      $\Large\begin{cases} a = -2\\b = 3\\c = 1\end{cases}$

✅ Portanto, a função procurada é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = -2x^{2} + 3x + 1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$