As integrais definidas podem ser utilizadas para calcular a área de uma região definida por duas funções. Por exemplo, as funções f(x)=x^2+1 e g(x)=3x+1 se interceptam em dois pontos e formam uma região delimitada por elas. Essa região está ilustrada na figura a seguir.
Fonte: Elaborado pela autora.
Calcule a área da região limitada pelas funções f e g e assinale a alternativa correta.
a- 7/2
b- 7/6
c- 9/2
d- 9/6
e- 5/6
Respostas
Resposta: 9/2
Explicação passo a passo:
Procurando os pontos de intersecção da função f(x)=x^2+1 e g(x)=3*x+1
Equacione ambas as funções:
f(x)=g(x)
| -3*x
1*x^2+-3*x+1=1 | -1
1*x^2+-3*x=0 | Complete adicionando ao quadrado (-3/2)^2
1*x^2+-3*x+(-3/2)^2=-3/2^2+0 | Para elevar ao quadrado uma fração, você deve elevar tanto o numerador quanto o denominador.
1*x^2+-3*x+(-3/2)^2=1*9/4+0 | Simplifique usando a fórmula binominal.
1*(1*x+(-3/2))^2=1*9/4 | Extraia a raíz quadrada de ambos os lados
1*x+(-3/2)=+-*1*9/4^0.5
1*x_1+(-3/2)=1*9/4^0.5 | Divida -3 por 2
1*x_1+-1.5=1*9/4^0.5 | Divida 9 por 4
1*x_1+-1.5=1*2.25^0.5 | Extraia a raíz 2.25
1*x_1+-1.5=1.5 | +1.5
1*x_1=3
1*x_2+(-3/2)=-1*1*9/4^0.5 | Divida -3 por 2
1*x_2+-1.5=-1*1*9/4^0.5 | Divida 9 por 4
1*x_2+-1.5=-1*1*2.25^0.5 | Extraia a raíz 2.25
1*x_2+-1.5=-1*1.5 | +1.5
1*x_2=0
Então, os valores x dos pontos de intersecção são {0;3}
Para calcular os pontos de interceptação, insira o valor de x em uma das funções.
Insira 0 na função f(x) :
f(0)=0^2+1=1
Então o ponto de interceptação é: (0|1)
Insira 3 na função f(x) :
f(3)=3^2+1=10
Então o ponto de interceptação é: (3|10)
Calcule a função diferencial d(x)=f(x)-g(x)
| O sinal de menos na frente (3*x+1) muda todos os sinais que estão entre os parênteses.
=1*x^2+1+(-3*x+-1) | Adicione 1 a -1
=1*x^2+-3*x+0
Ponto (0|1) e ponto (3|10)
Mathepower funciona com essa função: :
Antiderivada: D(x)=1*-3/2*x^2+1*1/3*x^2+1
Calcule a integral: :
3
∫ 1*x^2+-3*x dx
0
=D(3)+-1*D(0)
=1*-3/2*3^2+1*1/3*3^2+1+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1)
| Calcule 3 a potência 2 .
= 1*-3/2*9+1*1/3*3^2+1+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Multiplique -3/2 por 9. Você pode multiplicar uma fração por um número multiplicando o número e o numerador.
= 1*-3/2*9+1*1/3*3^2+1+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Adicione 2 a 1
= 1*-27/2+1*1/3*3^2+1+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Calcule 3 a potência 3 .
= 1*-27/2+1*1/3*27+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Multiplique 1/3 por 27. Você pode multiplicar uma fração por um número multiplicando o número e o numerador.
= 1*-27/2+1*1/3*27+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Cancelar 27/3 com 3
= 1*-27/2+1*9/1+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Numerador 1 de 9/1 pode ser omitido .
=1*-27/2+1*9+-1*(1*-3/2*0^2+1*1/3*0^2+1) | Calcule 0 a potência 2 .
= 1*-27/2+9+-1*(1*-3/2*0+1*1/3*0^2+1) | Multiplique 0 -3/2. Qualquer número multiplicado por 0 é 0 .
=1*-27/2+9+-1*(1*0+1*1/3*0^2+1) | Adicione 2 a 1
= 1*-27/2+9+-1*(0+1*1/3*0^2+1) | Calcule 0 a potência 3 .
= 1*-27/2+9+-1*(0+1*1/3*0) | Multiplique 0 1/3. Qualquer número multiplicado por 0 é 0 .
=1*-27/2+9+0 | Adicione 1*-27/2 a 9 . Para isso, transforme 9 em uma fração com o denominador 2
= 1*-27/2+9 | As frações -27/2 e 18/2 têm um denominador comum. Você pode adicioná-los enquanto também adiciona os numeradores.
= 1*-27/2+1*18/2
Área total: 1*-9/2
Resposta:
Explicação passo a passo:
9/2