Question

Utilizar a definição para mostrar que:


lim (x²-3x)=10 quando x tende a 5

Answer 1

lim (x^2-3x) = lim (x•x - 3•x)

x—>5 x—>5

(SUBSTITUA O X POR 5)

5•5-3•5, (fatorando) = 5•(5-3)

5•(5-3)

(RESOLVA O PARÊNTESES OU FAÇA A DISTRIBUTIVA, VOU FAZER DOS DOIS JEITOS)

Distributiva:

5•(5-3)= 25-15=10

Parênteses primeiro:

5•(5-3)= 5•2=10

Resposta:10

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Pela definição de limite

$lim_{x\to5}(x^2-3x)=10 \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0\exists\delta > 0;|x-5| < \delta\Rightarrow|(x^2-3x)-10| < \varepsilon$

Seja $\varepsilon > 0$ dado $|(x^2-3x)-10| < \varepsilon$

Note que

$|(x^2-3x)-10|=|x^2-3x-10|$

Usando qualquer algoritimo para resolução de equação de grau 2 vamos encontrar as raizes $x_1=-2$ e $x_2=5$, então podemos escrever

$|(x^2-3x)-10|=|x^2-3x-10|=|(x+2)(x-5)|=|x+2||x-5|$

como $x\to5$, então $|x+2|=x+2$

Então temos que

$|(x^2-3x)-10| < \varepsilon\Rightarrow(x+2)|x-5| < \varepsilon\Rightarrow|x-5| < \frac{\varepsilon}{x+2}$

Portanto $\delta=\frac{\varepsilon}{x+2}$ é um candidato

Para $x\to5^+$ temos $x > 5$, então $|x-5| > 0\Rightarrow|x-5|=x-5$ e então $0 < x-5 < \frac{\varepsilon}{x+2}$, logo temos que $(x+2)(x-5)=x^2-3x-10 < \varepsilon$, como $x > 5$ então $x-5 > 0$ e podemos escrever $|(x^2-3x)-10| < \varepsilon$, ou seja, $lim_{x\to5^+}(x^2-3x)=10$

Para $x\to5^-$ usamos o mesmo raciocínio,

$x < 5\Leftrightarrow x-5 < 0\Leftrightarrow -(x-5) > 0\Leftrightarrow 0 < -(x-5) < \frac{\varepsilon}{x+2}$

dai segue que

$(x+2)(-(x-5)) < \varepsilon\Leftrightarrow(x+2)|x-5| < \varepsilon\Leftrightarrow|(x+2)(x-5)| < \varepsilon$

e

$|(x^2-3x)-(10)| < \varepsilon$, ou seja, $lim_{x\to5^-}(x^2-3x)=10$

dai então $lim_{x\to5^+}(x^2-3x)=lim_{x\to5^-}(x^2-3x)=10$ dado $\delta > 0$ dado como $\delta=\frac{\varepsilon}{x+2}$, onde como $\varepsilon > 0$ e $x+2 > 0;x\to5^+$ e $x+2 > 0; x\to5^-$, então$\delta=\frac{\varepsilon}{x+2} > 0$