Question

sejam a e b as raízes da equação x²-7x+4=0
o valor de A²+ B² e igual a:​

Answer 1

Resposta:

41

Explicação passo a passo:

Modo 1.

Sabemos que $a$ e $b$ são raízes da equação $x^{2} - 7x + 4 = 0$. Assim, vamos calcular os valores de $a$ e $b$ a partir da fórmula quadrática (ou Bhaskara)

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4\cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{7\pm\sqrt{33}}{2}$

assim, $a =\frac{7+\sqrt{33}}{2}$ e $b = \frac{7-\sqrt{33}}{2}$. Daí, $a^{2} + b^{2} = \left(\frac{7+\sqrt{33}}{2}\right)^{2} + \left(\frac{7-\sqrt{33}}{2}\right)^{2} = \frac{49+14\sqrt{33}+33}{4} +\frac{49-14\sqrt{33}+33}{4} = \frac{49+33}{2} = 41$

Modo 2.

A forma geral de uma função do segundo grau é dada por $f(x) = (x-x_{1})(x-x_{2})$, assim, como $a$ e $b$ são raízes da equação $x^{2} - 7x + 4 = 0$, segue que $(x - a)(x - b) = 0$ e, logo, $(x-a)(x-b) = x^{2}-7x+4$.

Desenvolvendo o lado esquerdo da equação, temos $(x-a)(x-b) = x^{2} - (a + b)x + ab = x^{2} - 7x + 4$.

Assim, comparando membro a membro (olhar os termos que acompanham o $x$) vemos $\begin{cases}a + b = 7\\ab = 4\\\end{cases}$.

Agora, tendo em vista que $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = (a+b)^{2} - 2ab$, basta substituirmos os valores que encontramos anteriormente, assim, temos que

$a^{2} + b^{2} = 7^{2} - 2 \cdot 4 = 49 - 4 = 41$