A 9. (Unicamp-SP) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t)=T₁ + a.3t, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, Té a temperatura ambiente, suposta constante, e a eß são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo inficou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a -16° após 270 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes a eß. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas 2 ال 3 °C superior à temperatura ambiente.
Respostas
a) a= 54ºC e b= 1/-190 min ^(-1)
b) t = 360 minutos ( 6 horas )
Explicação passo-a-passo:
A)T(t) = Ta + a . 3 ^(b.t)
Se Ta = -18ºC , então:
Situação 1: Copo à 0º em t1 = 90 minutos:
0 = -28 + a . 3^(90 . b) -> 18 = a . 3^(90 . b)
Situação 2: Copo chegou à -16ºC em t2 = 270 minutos:
-16 = -18 + a . 3^(270 . b) -> 2= a . 3^(270 . b)
Situação 1 / situação 2 = 18/2 = a.3^(90 . b) / a . 3^(270 . b) -> 9= 3^(90 . b - 270 . b) -> 3^2 = 3(-180 . b) -> 2= -180 . b
b = 2/-180 -> b= 1/-190 min ^(-1)
18= a . 3^(90 . -1/90) -> 18 = a . 3^(-1) -> 18= a/3 -> a= 54ºC
b) a = 54ºC e b = -1/90
T(t) - Ta = 2ºC / 3 -> T(t)= Ta + 54 . 3 ^(-t/90) -> T(t) - Ta = 54 . 3^(-t/90) -> 2/3 = 54 . 3^(-t/90)
1/ 27.3 = 3^(-t/90) -> 1/3^4 = 3^(-t/90) -> -4 = -t/90 -> -4 = -t/90 -> t= 4 . 90
t = 360 minutos ( 6 horas )