Question

URGENTE , AJUDEM POR FAVOR
Determine quantos termos da P.A. (140, 134, 128, 122, …) devemos somar para que a soma dos primeiros seja igual -350.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

$a_1=140\\r=134-140=-6\\a_n=a_1+(n-1)r\\a_n=140+(n-1).(-6)\\a_n=140-6n+6\\a_n=146-6n$

Vamos substituir esses valores na fórmula da soma dos termos de uma P.A.:

$S_n=\frac{n(a_n+a_1)}{2} \\-350=\frac{n(146-6n+140)}{2}\\-700=n(286-6n)\\-700=286n-6n^2\\6n^2-286n-700=0\\3n^2-143n-350=0$

Resolva a equação do segundo grau e encontre n = 50.

Resposta: 50 termos.

Answer 2

Resposta:

O número de termos da sequência é 50.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo-a-passo:

A Fórmula que determina a Soma dos Termos de uma Progressão Aritmética finita é a seguinte:

$S_{n} =\frac{(a_{1}+a_{n})×n}{2}$

Onde:

• Sn: soma dos termos;
• a1: 1⁰ termo;
• an: enésimo termo.

Dos dados presentes na Tarefa, conhecidos são o primeiro termo da sequência, 140, a soma dos seus primeiros termos, -350, e a razão "r", que é a diferença entre dois termos consecutivos (134 - 140 = 128 - 134 = 122 - 126 = -4), -4. Não estão informados o enésimo termo e o número de termos, sendo esta, por sinal, a solicitação da Tarefa.

A Fórmula do Termo Geral da Progressão Aritmética é assim definida:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)×r$

Vamos, agora, reunir as informações passadas e trabalhar nas duas fórmulas dadas, a fim de determinarmos o número de termos da Progressão Aritmética.

• TERMO GERAL DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)×r \\ a_{n} =140 + (n - 1)×( - 6) \\ a_{n} = 140 + ( n) \times ( - 6) + ( - 1) \times ( - 6) \\ a_{n} = 140 - 6n + 6 \\ a_{n} = 146 - 6n$

• SOMA DOS TERMOS DA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

$S_{n} =\frac{(a_{1}+a_{n})×n}{2} \\ - 350 = \frac{(140 + 146 - 6n) \times n}{2} \\ - 350 = \frac{(286 - 6n) \times n}{2} \\ - 350 \times 2 = 286 \times n - 6n \times n \\ - 700 = 286n - {6n}^{2} \\ {6n}^{2} - 286n - 700 = 0$

Então, para a determinação do número de termos da Progressão Aritmética, devemos encontrar as raízes ou os zeros da equação de segundo grau:

6n² - 286n - 700 = 0.

Para resolvermos esta equação de segundo grau, nós utilizaremos a seguinte fórmula:

$n = \frac{ - b + - \sqrt{ {b}^{2} - 4ac } }{2a}$

Os coeficientes da equação 6n² - 286n - 700 = 0 são:

• a = 6;
• b = -286;
• c = -700.

• DETERMINAÇÃO DAS RAÍZES OU ZEROS DA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU

$n = \frac{ - b + - \sqrt{ {b}^{2} - 4ac } }{2a} \\ n = \frac{ - ( - 286) + - \sqrt{ {( - 286)}^{2} - 4.(6).( - 700) } }{2.6} \\ n = \frac{286 + - \sqrt{81796 + 16800} }{12} \\ n = \frac{286 + - \sqrt{98596} }{6} \\ n = \frac{286 + - 314}{6}$

$n_{1} = \frac{286 + 314}{12} \\ n_{1} = \frac{600}{12} \\ n_{1} = 50$

$n_{2} = \frac{286 - 314}{12} \\ n_{2} = \frac{ - 28}{12} \\ n_{2} = - \frac{7}{3}$

Como "n" representa o número de termos, a solução da equação de segundo grau aceitável é n = 50.

Portanto, o número de termos da Progressão Aritmética dada, cuja soma resulta -350, é 50 termos.