Question

Determine k de modo que seja:

$\displaystyle\mathsf{\sum_{i=0}^{51}(i+k)=(\sum_{i=1}^{51}i)+104}$​

Answer 1

Queremos encontrar o valor de k para que a seguinte igualdade de somatórios seja cumprida:

$\displaystyle\sf\left(\sum_{i=0}^{51}i+k\right)=\left(\sum_{i=1}^{51}i\right)+104$

Veja essa letra grega Σ que é conhecida como sigma, essa letra em matemática representa um operador matemático conhecido como somatório, onde somatório é uma notação matemática que permite representar somas de vários adendos, n ou até mesmo adendos infinitos, evitando o uso das elipses ou uma notação explícita de cruzamento de limites. O recomendado para poder calcular o valor de k para que essa igualdade seja cumprida é primeiro realizar as somatórias

Para calcular o valor dessas somas devemos aplicar algumas propriedades que você possui, então lembre-se que todo operador matemático tem suas próprias propriedades, para simplificar a expressão à esquerda e à direita podemos aplicar a seguinte propriedade nas somas:

$\sf\star\qquad \boxed{\boxed{\displaystyle\sf \sum^{n}_{i=1}f(i)\pm g(i)=\sum^n_{i=1}f(i)\pm \sum^n_{i=1} g(i)}}\qquad \star$

Aplicando esta propriedade nas somatórias em nossa expressão devemos obter esta nova expressão:

$\displaystyle\sf \sum_{i=0}^{51}i+\sum_{i=0}^{51} k=\sum_{i=1}^{51}i+104$

Parece que essa propriedade, além de tornar a expressão muito mais simples de entender, a tornou muito mais complexa de entender, mas graças a essa propriedade podemos realizar essas somas de maneira muito mais confortável. Para calcular a soma de n inteiros de 1 a n podemos aplicar a expressão que nos permite calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética já que estamos lidando com uma progressão aritmética com razão igual a +1, ou seja, essas somas pode ser calculado pela fórmula:

$\sf\star\qquad \boxed{\boxed{\displaystyle\sf \sum^{n}_{i=1} i=\dfrac{n(n+1)}{2}}}\qquad \star$

Aplicando esta expressão com qualquer um dos somatórios idênticos a esta expressão e partindo de um índice igual a 1, devemos obter:

$\displaystyle\sf \sum_{i=0}^{51}i+\sum_{i=0}^{51} k=\dfrac{51\cdot (51+1)}{2}+104\\\\\\ \displaystyle\sf \sum_{i=0}^{51}i+\sum_{i=0}^{51} k=\dfrac{2.652}{2}+104\\\\\\ \displaystyle\sf \sum_{i=0}^{51}i+\sum_{i=0}^{51} k=1.326+104$

Já calculamos o valor de uma soma neste momento, agora só precisamos calcular o valor das outras 2 somas, para todas as somas que começam em i=0 o que faremos é realizar o cálculo quando i=0 e então vamos alterar o resultado para i=1, fazendo isso obteremos:

$\displaystyle \sf 0+\sum_{i=1}^{51}i+k+ \sum_{i=1}^{51} k=1.326+104\\\\\\\displaystyle \sf \sum_{i=1}^{51}i+k+ \sum_{i=1}^{51} k=1.326+104$

Observe que, graças a isso, obtivemos uma soma idêntica à que calculamos anteriormente, o valor dessa soma já conhecemos, para que possamos eliminar termos semelhantes de nossa expressão e obter a seguinte expressão:

$\displaystyle \sf k+ \sum_{i=1}^{51} k=104$

Pouco a pouco estamos nos aproximando do valor que deve ter para que a igualdade seja cumprida, para essas somas pode-se mostrar que elas têm uma constante igual a 0 já que a variável i não está presente em algumas dessas somas, então essas somas podem ser reescrito como:

$\displaystyle \sf k+\left(\underbrace{\sf k+k+k+\dots+k}_{\sf 51~ vezes}\right)=104$

Para expressar esta expressão de uma forma mais simples podemos aplicar a multiplicação, multiplicação é aquela operação pela qual um número é somado por si mesmo tantas vezes quanto outro número indicar. A multiplicação, explicada de forma simples, é que ao multiplicarmos, por exemplo, 6×2, estaríamos realizando a seguinte operação 6+6. Então toda essa soma pode ser expressa como a seguinte equação de grau 1:

$\sf k+51k=104\\\\\\ \sf 52k=104\\\\\\ \star\qquad\boxed{\sf k=2}\qquad\star$