Question

Prove a seguinte propriedade da função gamma para todo n nos naturais:

$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}+n\right)=\dfrac{1\cdot3\cdot5\dots(2n-1)}{2^n}\sqrt{ \pi}$

Use indução finita.

Obs: Cálculos auxiliares para o problema:

$\begin{cases}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\\\\\Gamma\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\\ \\ \Gamma\left( \dfrac{7}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{\pi}}{4} \\ \\\Gamma\left(x+1\right)=x\Gamma(x) \end{cases}$
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Answer 1

Provemos, inicialmente, que a propriedade é válida para o elemento mínimo dos naturais $n=1$.

Conforme o enunciado, temos que:

$\Gamma\left(\cfrac{1}{2} + 1 \right) \\\\= \cfrac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right)\\\\= \cfrac{1}{2}\sqrt{\pi}$

Testemos se esse valor condiz com a propriedade que queremos demonstrar:

$\Gamma\left(\cfrac{1}{2} + 1 \right) \\\\= \cfrac{1}{2^1} \sqrt{\pi} \\\\= \cfrac{1}{2} \sqrt{\pi}$

$n=1$ é válido.

Hipótese de indução - suponha que a seguinte propriedade é válida para algum $n \in \mathbb{N}$:

$\Gamma\left(\cfrac{1}{2} + n \right) = \cfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n - 1)}{2^n} \sqrt{\pi}$

Passo indutivo - demonstrar que é válida também para $n+1$:

$\Gamma\left(\cfrac{1}{2} + (n+1) \right)\\\\\\= \Gamma\left(\cfrac{1}{2} + \cfrac{2n}{2} + 1 \right)\\\\\\= \Gamma\left(\cfrac{2n + 1}{2} + 1 \right)\\\\\\= \cfrac{2n + 1}{2} \cdot \Gamma\left(\cfrac{2n + 1}{2} \right)\\\\\\= \cfrac{2n + 1}{2} \cdot \Gamma\left(\cfrac{1}{2} + \cfrac{2n}{2} \right)\\\\\\= \cfrac{2n + 1}{2} \cdot \Gamma\left(\cfrac{1}{2} + n\right)$

Podemos substituir a função conforme a hipótese de indução:

$\cfrac{2n + 1}{2} \cdot \cfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n - 1)}{2^n} \sqrt{\pi}\\\\= \cfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1)}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}\\\\\\\boxed{\Gamma\left(\cfrac{1}{2} + (n+1) \right)= \cfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n - 1) \cdot (2n + 1)}{2^{n+1}}\sqrt{\pi}}$

Como a propriedade $P(n)$ em questão é válida para o elemento mínimo dos naturais, e como a validade de $P(n) \Longrightarrow P(n+1)$, logo, se pode afirmar que é válida $\forall n \in \mathbb{N}$.