Question

Limites não existem.Prove

Answer 1

a) $\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{y}{x^2-y}$

Queremos calcular o limite de

$f(x,\,y)=\dfrac{y}{x^2-y}$

quando $(x,\,y)$ se aproxima da origem, se o limite existir.
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Tomemos a seguinte curva, cuja imagem está no $\mathbb{R}^2:$

$\bullet~~\gamma_1(t)=(t,\,0)\,,~~~\text{com }t\in\mathbb{R}.\\\\ \bullet~~\gamma_1(0)=(0,\,0)$


Como as componentes de $\gamma_1(t)$ são contínuas em $t=0,$ temos que

$\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~f(x,\,y)\\\\ \\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(\gamma_1(t))\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(t,\,0)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{0}{t^2-0}\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~0\\\\ =0~~~~~~\mathbf{(i)}$
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Tomemos agora outra curva que também passa pela origem:

$\bullet~~\gamma_2(t)=(0,\,t),~~~\text{com }t\in\mathbb{R}.\\\\ \bullet~~\gamma_2(0)=(0,\;0)$


Novamente, as componentes de $\gamma_2(t)$ são contínuas em $t=0.$ Portanto,

$\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~f(x,\,y)\\\\ \\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(\gamma_2(t))\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(0,\,t)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{t}{0^2-t}\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{t}{-t}\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~(-1)\\\\ =-1~~~~~~\mathbf{(ii)}$
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Como os limites $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ diferem, logo

$\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{y}{x^2-y}$

não existe.
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b) $\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x+y}{xy}$

$f(x,\,y)=\dfrac{x+y}{xy}$


Tomemos a seguinte curva parametrizada com imagem no $\mathbb{R}^2:$

$\bullet~~\gamma_3(t)=(t,\,t),~~~\text{com }t\in\mathbb{R}\\\\ \bullet~~\gamma_3(0)=(0,\,0).$


Como as componentes da curva são contínuas em $t=0,$ temos que

$\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~f(x,\,y)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~f(t,\,t)\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{t+t}{t\cdot t}\\\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2t}{t^2}\\\\\\ =\underset{t\to 0}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2}{t}~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Esse último limite é de uma variável, e ele próprio não existe, pois

$\underset{t\to 0^-}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2}{t}=-\infty\\\\\\ \underset{t\to 0^+}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2}{t}=+\infty$

(os limites laterais diferem)


Sendo assim, o limite

$\underset{(x,\,y)\to (0,\,0)}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x+y}{xy}$

não existe.

(Se existisse, $\mathbf{(iii)}$ também existiria...)