Question

Encontre o conjunto solução |−3|≤||3 x+2|−4|

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

$|-3|\le||3x+2|-4|$

meu deus, ok, meu senhor, vamos lá

Quando trabalhamos com valor absoluto (ou módulo, não sei como cê ta chamando) temos que separar cada expressão e sua parte positiva nula e negativa não nula, então

1° expressão

$\[ |-3|=\left\{ \begin{array}{ll} -3, se -3 > 0\\ -(-3), se -3 < 0 \end{array} \right. \]$

então nesse caso, como $-3$ é sempre um número menor que $0$, apenas a segunda equação pode ser verdade, dai então

$|-3|=-(-3)=3$

2ª expressão

$||3x+2|-4|$, essa expressão tem uma outra interna

2ª.a expressão

$\[ |3x+2|=\left\{ \begin{array}{ll} 3x+2, se\ 3x+2 > 0\\ -(3x+2), se\ 3x+2 < 0 \end{array} \right. \]$

Então temos o caso $3x+2 > 0\Rightarrow 3x > -2\Rightarrow x > \frac{-2}{3}$ e o caso $x < \frac{-2}{3}$

então para o primeiro caso, tomando $x > \frac{-2}{3}$

$|-3|\le||3x+2|-4|\\3\le|3x+2-4|\\3\le|3x-2|$

e então temos que ver agora essa nova expressão

$\[ |3x-2|=\left\{ \begin{array}{ll} 3x-2, se\ 3x-2 > 0\\ -(3x-2), se\ 3x-2 < 0 \end{array} \right. \]$

Então temos o caso $3x-2 > 0\Rightarrow3x > 2\Rightarrow x > \frac{2}{3}$ e o caso $x < \frac{2}{3}$

e então temos, por um lado

$3\le3x-2\\x\ge\frac{5}{3}$

e por outro lado

$3\le-(3x-2)\\3\ge3x-2\\5\ge3x\\\frac{5}{3}\ge x$ mas isso não pode ocorrer pois $x > \frac{2}{3}$, então essa parte da solução não é verdadeira

Voltando para a expressão 2ª.a, o segundo caso temos

$|-3|\le|-(3x+2)-4|\\3\le-3x-2-4\\3\le-3x-6\\9\le-3x\\-3\ge x$

e por outro lado

$x\le\frac{-1}{3}$ e $x\ge-1$

Ou seja, a solução é

$S=(-\infty,-3]\cup[-1,\frac{-1}{3}}]\cup[\frac{5}{3},+\infty]$