Question

A quantidade de raízes da equação sen x = 1 – cos x, para x pertencente ao intervalo [0, 2π[, é

Answer 1

Usando a Lei Fundamental da Trigonometria, com a construção de um sistema de duas equações ,obtém-se:

Esta equação tem duas raízes.

x = 0 ; x = π/2

Temos duas funções trigonométricas em uso: seno e cosseno.

Usando a Lei Fundamental da Trigonometria

$sen^2(x)+cos^2(x)=1$

• Para qualquer ângulo x, o quadrado de seno (x) mais o quadrado do cosseno de (x) vem sempre igual a 1

Construção de um sistema de duas equações, que se resolverá pelo

Método de Substituição:

$\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ sen^2(x)+cos^2(x)=1 \end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ (1-cos(x))^2+cos^2(x)=1\end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ 1^2-2\cdot 1 \cdot cos(x)+cos^2(x)+cos^2(x)=1\end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ -2\cdot cos(x)+2\cdot cos^2(x)=1-1\end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ 2\cdot cos^2(x)-2\cdot cos(x)=0\end{cases}\\\\~\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ cos^2(x)-cos(x)=0\end{cases}$

Na segunda equação dividindo todos os termos por 2 e colocando em evidência cos (x) :

$\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\ cos^2(x)-cos(x)=0\end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\cos(x)\cdot(cos(x)-1)=0\end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\cos(x)=0~\vee~cos(x)-1=0\end{cases}\\~\\\\\begin{cases} sen(x)=1-cos(x)\\cos(x)=0~\vee~cos(x)=1\end{cases}$

Se cos (x) = 0

$sen(x)=1-0=1$

• isto acontece quando  $x=\dfrac{\pi }{2}$

Se cos(x)=1

$sen(x)=1-1=0$

• aqui quando $x=0$

Assim no intervalo $[~ 0~{ ;} ~2\pi ~[$  temos duas soluções

$x=0~~ou~~x=\dfrac{\pi }{2}$

Logo tem duas raízes.

Nota: Foi usado um produto notável:

• quadrado de uma diferença

$(1-cos(x))^2$

Desenvolvimento:

• quadrado do primeiro termo

menos

• dobro do produto do primeiro pelo segundo termo

mais

• quadrado do segundo termo

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Bons estudos.

Att  Duarte Morgado

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$(\cdot)$ multiplicação    ( ∨ )  ou       ( / ) divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.