(vunesp 2015) num triângulo abc, as bissetrizes interna em b e externa em c se intersectam segundo um ângulo de 50°. Qual é a medida do ângulo interno em a?
Respostas
A medida do ângulo interno em a é de 80º.
Para realizar este exercício vamos utilizar a soma dos ângulos internos de um triângulo na geomatria plana. Pegue uma caneta e um papel para acompanhar desenhando.
Modelando o problema
Chamemos a intersecção das bissetrizes externas de ponto P. Sabemos que PBC formam um novo triângulo.
- Chamemos o ângulo no vértice A de w;
- Chamemos no vértice B nossos três angulos de y, y, Y onde y + y + Y = 180º, ou seja, Y = 180º - 2y;
- Chamemos no vértice C nossos três angulos de x, x, X onde x + x + X = 180º, ou seja, X = 180º - 2x.
Soma dos ângulos internos
Na geometria euclidiana (plana) temos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo sempre será 180º.
- Temos que PBC é formado pelos ângulos x, y e 50º, ou seja:
x + y + 50 = 180
x + y = 180 - 50
x + y = 130º
- Temos que ABC é formado pelos ângulos X, Y e w, ou seja:
X + Y + w = 180
w = 180 - (X + Y)
Porém sabemos que X = 180º - 2x e que Y = 180º - 2y, ou seja:
w = 180 - (180 - 2x + 180 - 2y)
w = 180 - (360 - 2 * (x + y))
Sabemos também quanto vale x + y:
w = 180 - (360 - 2 * (x + y))
w = 180 - (360 - 2 * 130)
w = 180 - (360 - 260)
w = 180 - 100
w = 80º
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