Qual a equação da elipse de focos f_1(3,0) e f_2(-3,0) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, a_1(5,0) e a_2(-5,0)?
Respostas
A equação da elipse de focos f_1(3,0) e f_2(-3,0) é x²/25 + y²/16 = 1
Equação da elipse
Seja a elipse com focos f_1(3,0) e f_2(-3,0). e extremidades do eixo maior a_1(5,0) e a_2(-5,0).
É sabido que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos dois pontos de foco é constante.
Seja o ponto b_1 (0,y) e b_2(0, -y) extremidades do eixo menor da elipse sobre o eixo Y. Pelo postulado do parágrafo anterior, podemos entender que a distância de b_1 ao ponto f_1 somada à distância de b_1 ao ponto f_2 é igual à soma da distância do ponto a_1 ao ponto f_1 somado à distância do ponto a_1 ao ponto f_2.
A soma das distâncias do ponto a_1 ao ponto de foco f_1 e a_2 ao ponto de foco f_1 é,
a_1 - f_1 = (5,0) - (3,0) = (2,0)
a_2 - f_1 = (-5,0) - (3,0) = (-8,0)
Como se trata de distância, podemos entender que a soma das distâncias dos pontos a_1 e a_2 ao ponto f_1 é igual a
|2| + |-8| = 10.
Esse valor 10 vale para qualquer ponto sobre a elipse, inclusive, os pontos b_1 e b_2. Portanto, seja b a distância de b_1 ao ponto de foco f_1 e, considerando que o ponto b_1 é simétrico em relação aos pontos de foco f_1 e a f_2, podemos entender que b é também a distância de b_1 ao ponto de foco f_2. Portanto, concluímos que,
2b = 10
b = 10/2
b = 5
Sabemos que
y^2 + c^2 = b^2
y^2 = b^2 - c^2
y^2 = 5^2 - 3^2
y^2 = 25 - 9
y^2 = 16
y = √16
y = 4
-y = -4
A equação da elipse de focos f_1(3,0) e f_2(-3,0) é, portanto,
x²/5² + y²/4² = 1
x²/25 + y²/16 = 1
Saiba mais sobre a equação da elipse, em: https://brainly.com.br/tarefa/23284956
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