Question

Um restaurante vende, por dia, 200 refeições ao preço de R$ 10,00 cada. Fez uma pesquisa para aumentar o preço das refeições e verificou que perderia 10 clientes para cada real de aumento no preço da refeição. Nessas condições:

1) É possível elevar o faturamento para R$ 2.250,00 por dia?

2) Qual o preço da refeição para obter um faturamento de R$ 2.090,00 por dia?

3) É possível obter um faturamento de R$ 3.000,00 por dia?

Answer 1

Resposta:

Chamemos $P$ o preço unitário da refeição, em reais, e $Q$ a quantidade de refeições vendidas por dia.

Sabemos que cada aumento de 1 real em $P$ leva a uma queda de 10 unidades em $Q$. Temos:

$\frac{dP}{dQ} = -\frac{1}{10}\Leftrightarrow P = -0,1Q + P_0.$

Sabemos ainda que, para P = R$ 10,00, Q = 200 unidades. Substituindo esses valores na eq. acima, temos:

$10 = -0,1 \cdot 200 + P_0\Leftrightarrow 10 = -20 + P_0\Leftrightarrow P_0 = 30.$

Portanto, a eq. que associa a quantidade de refeições vendidas por dia, ao preço unitário da refeição, é:

$\boxed{P = -0,1Q + 30.}$

É evidente que $P$ deve ser não negativo. Assim:

$-0,1Q + 30 \geq 0 \Leftrightarrow -0,1Q \geq -30 \Leftrightarrow 0,1Q \leq 30\Leftrightarrow Q \leq 300.$

Como Q também deve ser não negativo, o domínio da função P(Q) é:

$\boxed{0 \leq Q \leq 300.}$

Chamemos $R$ a receita diária obtida pelo restaurante com a venda de refeições, em reais.

É evidente que:

$R = P \times Q \Leftrightarrow R = (-0,1Q + 30) \cdot Q \Leftrightarrow \boxed{R = -0,1Q^2 + 30Q .}$

1) Para R = R$ 2.250,00, temos:

$2250 = -0,1Q^2 + 30Q\\\\\Longleftrightarrow -0,1Q^2 + 30Q - 2250 = 0\\\\\Longleftrightarrow -0,1(Q - 150)^2 = 0\\\\\Longleftrightarrow \boxed{Q = 150\,\,unidades.}$

Logo, um faturamento de R$ 2.250,00 por dia é possível, desde que a quantidade vendida seja de 150 unidades.

2) Para R = R$ 2.090,00, temos:

$2090 = -0,1Q^2 + 30Q\\\\\Longleftrightarrow -0,1Q^2 + 30Q - 2090 = 0\\\\\Longleftrightarrow -0,1(Q - 110)(Q - 190) = 0\\\\\Longleftrightarrow Q = 110\,\,ou\,\,Q = 190\,\,unidades.$

Para Q = 110, temos:

$P = -0,1 \cdot 110 + 30\\\\\Longleftrightarrow \boxed{P = R\ \,\,19,00.}$

Para Q = 190, temos:

$P = -0,1 \cdot 190 + 30\\\\\Longleftrightarrow \boxed{P = R\ \,\,11,00.}$

Portanto, quer o preço seja R$ 11,00, quer seja R$ 19,00, o faturamento será de R$ 2.090,00.

3) Para R = R$ 3.000,00, temos:

$3000 = -0,1Q^2 + 30Q\\\\\Longleftrightarrow -0,1Q^2 + 30Q - 3000 = 0$

A equação quadrática acima não possui raízes reais, pois:

$\Delta = 30^2 - 4 \cdot (-0,1) \cdot (-3000) = -300.$

Assim, não é possível obter um faturamento de R$ 3.000,00.

De fato, a quantidade que maximiza o faturamento é:

$\frac{dR}{dQ} = 0 \Leftrightarrow \frac{d}{dQ} \left(-0,1Q^2 + 30Q \right) = 0 \Leftrightarrow -0,2Q + 30 = 0 \Leftrightarrow -0,2Q = -30 \Leftrightarrow Q = 150.$

Para a qual o faturamento máximo é de R$ 2.250,00, conforme calculado no item 1.