Question

Um professor querendo estimular seus alunos a estudarem, resolveu fazer com eles uma série de testes de modo a conceder
uma premiação aos três melhores colocados. Os testes foram realizados, corrigidos, finalizados e as notas entregues a cada
um dos alunos, de modo que os campeões desta competição estavam ansiosos pelo prêmio. No dia da premiação, o
professor levou para sala 378 moedas de R$ 1,00 e informou que tal prêmio seria dividido de modo que o terceiro, segundo
e o primeiro colocados (nessa ordem) receberiam uma quantidade de moedas que formariam uma progressão geométrica
decrescente. Sabe-se que o aluno campeão ganhou 270 moedas a mais que o 3º colocado. Seja X o número de moedas que o
segundo colocado ganhou. Assinale a opção que contem a soma dos algarismos do número X.

Answer 1

Olá, Evelyn.

Se do primeiro para o terceiro temos uma PG decrescente, então do terceiro para o primeiro temos uma PG crescente.
Ou seja:

Terceiro: a
Segundo: aq
Primeiro: aq²

O total de moedas é 378, ou seja:

$a + aq + aq\² = 378 \Rightarrow a(1 +q +q\²) = 378~~(i)$

Além disso, sabemos que o aluno campeão ganhou 270 moedas a mais que o 3.º colocado, ou seja:

$aq\² - a = 270 \Rightarrow a(q\² - 1) = 270 \Rightarrow a = \frac{270}{q\² - 1}~~(ii)$

Substituindo (ii) em (i) temos:

$\frac{270}{q\² - 1}\cdot(1 +q +q\²) = 378\Rightarrow\\\\270+270q+270q^2=378q^2-378\Rightarrow\\\\ -108q^2+270q+648=0\Rightarrow\\\\ \Delta=72.900+279.936=352.836\Rightarrow\sqrt\Delta=594\Rightarrow\\\\ q=\frac{-270\pm594}{-216}=4\text{~~~(desprezamos a raiz negativa)}$

Substituindo o valor de q encontrado em (ii), temos:

$a = \frac{270}{q\² - 1}=\frac{270}{16 - 1}=18$

O segundo colocado obteve, portanto, aq = 18 · 4 = 72 moedas.

A soma dos algarismos de 72 é 7 + 2 = 9.