Matéria: Matemática
Autor: mandsdosullivan
Perguntado 3 anos atrás

O valor aproximado da soma dos coeficientes da solução particular da equação y''+3y'+4y=3x²+2 é

Respostas

respondido por: Nitoryu

Queremos encontrar da soma dos coeficientes da solução particular da seguinte equação diferencial:

$\boxed{\sf y''+3y'+4y=3x^2+2}$

Para encontrar a soma dos coeficientes da solução particular de nossa equação diferencial, devemos primeiro saber qual é a solução particular de nossa equação diferencial e para encontrar a solução particular de nossa equação diferencial, aplicarei o método de variação de parâmetros.

Para aplicar o método de variação de parâmetros devemos primeiro conhecer a solução geral de nossa equação diferencial para que possamos associar nossa equação diferencial não homogênea com uma equação diferencial homogênea, isso é o mesmo que equalizar a função que depende de x na outra parte da igualdade por 0 (zero) fazendo isso podemos ver que a EDO homogênea associada à nossa EDO não homogênea é igual a:

$\sf y''+3y + 4y=0$

A solução geral de uma equação diferencial Temos uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, homogênea e a coeficientes constantes.

• Encontrando as raízes do polinômio característico:

$\sf \lambda^2+3\lambda +4=0\quad \to\quad a= 1~~b=3~~c=4\\\\ \sf \lambda_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\to\quad \lambda_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}\\\\ \sf \lambda_{1,2}= \dfrac{-3\pm\sqrt{-7}}{2}\quad \to\quad \lambda_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}i}{2}\\\\ \sf \lambda_1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{7}i}{2}\quad\to\quad \lambda_2=-\dfrac{3}{2} -\dfrac{\sqrt{7}i}{2}$

Podemos ver em detalhes que as raízes do polinômio característico de nossa equação diferencial homogênea são raízes com números complexos, quando as raízes $\sf \lambda_1\neq\lambda_2$ onde $\sf\lambda_1= \alpha + \beta i$ e $\sf \lambda_2=\alpha -\beta i$ a solução geral da nossa equação diferencial será igual a:

$\sf y_g=e^{\alpha x}\left(c_1~cos\left(\beta x\right)+c_2~ sen\left(\beta x\right)\right)\quad \to\quad \alpha =-\dfrac{3}{2}~~\beta=\dfrac{\sqrt{7}}{2} \\\\ \boxed{\sf y_g= e^{-\frac{3}{2}x} \left(c_1~cos\left(\dfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)+c_2~sen\left( \dfrac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)}$

Como já encontramos a solução geral da nossa equação diferencial, o próximo passo é derivar essa solução geral duas vezes, mas observe como a solução geral da nossa equação diferencial é escrita, é uma solução muito longa e complexa de derivar, então podemos dizem que é impossível resolver pelo método de variação de parâmetros. Agora, pensaríamos que essa equação diferencial não tem solução particular, mas ainda falta um método conhecido como método dos coeficientes indeterminados.

Para aplicar este método devemos saber que a estrutura de uma equação diferencial não homogênea com coeficientes constantes é escrita como:

$\sf y''+ py'(x)+qy(x)=f(x)$

Note que a função f(x) é igual a: $\sf f(x)=3x^2+2$ , esta função é conhecida como uma função polinomial de segundo grau agora por definição temos que a solução particular de nossa equação diferencial também será um polinômio de segundo grau escrito na forma:

$\sf y_p= Ax^2+Bx+C$

Derivando a solução particular de nossa equação diferencial em relação à variável x um total de duas vezes seguidas, obtemos os seguintes resultados:

$\begin{cases}\sf y_p= Ax^2+Bx+C\\\\\sf y_p'=\frac{d}{dx}Ax^2+Bx+C \quad \to\quad y_p'=2Ax+B\\\\ \sf y_p''=\frac{d}{dx} 2Ax +B \quad\to\quad y_p''=2A \end{cases}$

• Substituindo essas derivadas pela variável y na equação diferencial não homogênea obtemos:

$\sf 2A +3\left(2Ax+B\right)+4\left(Ax^2+Bx+C\right)=3x^2+2\qquad \to\qquad \sf 2A +6Ax+3B+ 4Ax^2+ 4Bx+4C=3x^2+2\\\\ \sf 4Ax^2+(6A+4B)+(2A+3B+4C)=3x^2+2$

O que vamos fazer com esta equação é igualar os coeficientes que multiplicam a variável x², os coeficientes que multiplicam x e os termos independentes, fazendo isso obteremos o seguinte sistema de equações:

$\bf(1)\begin{cases}\sf 4A=3\\\\ \sf 6A+4B=0\\\\ \sf 2A+3B+4C=2\end{cases}$

Todos aqueles que lêem esta resposta têm em mente que no brainly você só pode inserir 5000 caracteres, as operações mostradas levam muitos caracteres, então deixo você resolver esse sistema de equações. A solução particular da EDO não homogênea é:

$\sf y_p=\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{9x}{8}+\dfrac{31}{32}$

Uma vez encontrada a solução particular da EDO não homogênea, o que se segue é encontrar a soma de todos os coeficientes, para isso somamos todos os números que multiplicam a variável x e também nosso termo independente, obtendo assim:

$\sf E=\dfrac{3}{4} -\dfrac{9}{8} +\dfrac{31}{32}\\\\ \sf E=\dfrac{19}{32}\\\\ \boxed{\bf E\approx 0,59}$