Máquinas de controle numérico no computador (CNC) são muito utilizadas na indústria para construção de peças, com grande precisão, por torneamento ou usinagem, por exemplo. Como o próprio nome já informa, elas são controladas por um computador, o qual conterà as informações geométricas do item a ser produzido. Tais informações consistem, por exemplo, nas equações das retas, planos e de outros tipos de superficies que compõem o objeto a ser construído. Os técnicos que programam a máquina devem saber como obter essas equações.
Uma empresa recebeu um protótipo de uma peça em formato de tetraedro retangular (vide figura a seguir da peça em um sistema de coordenadas cartesiano), a qual deve ser reproduzida por usinagem em uma máquina de CNC
CNC que irá esculpir as novas peças. Os resultados da medição foram os seguintes (todos em centimetros):
Ponto x v y
a 3 0 0
b 0 2 0
c 0 0 4
Com base no texto acima apresentado, pode-se afirmar que, a equação geral do plano que passa pelos pontos A, b e c sera
Respostas
A equação geral do plano que passa pelos pontos a, b e c é: π: 4x + 6y + 3z - 12 = 0.
Como determinar a equação geral do plano?
Para determinarmos a equação geral de um plano (π: ax + by + cz + d = 0) que passa por um ponto, primeiramente devemos calcular um vetor normal ao plano que se deseja encontrar.
Para isso, formaremos dois vetores através dos pontos dados, sendo o vetor ab (-3; 2; 0) e o vetor ac (-3; 0; 4). Em seguida, devemos calcular o vetor normal a eles, através do produto vetorial entre eles (determinante de N), sendo:
Temos, assim, o vetor n = 4i + 6j + 3k que é normal (ortogonal) aos vetores ab e ac. Como a equação do plano tem a forma π: ax + by + cz + d = 0, os coeficientes a, b e c são os coeficientes do vetor normal n e d é calculado a partir da substituição de um ponto (a, b ou c) na equação.
Portanto, a equação geral do plano é π: 4x + 6y + 3z - 12 = 0.
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