Question

Uma partícula se desloca em movimento bidimensional e tem coordenadas em milímetros dadas por x=t2-4t+20 e y=3sin(2t), onde t é dado em segundos. Determine os módulos de velocidade e aceleração e os ângulos que esses vetores fazem com o eixo x.

Answer 1

Resposta:

O movimento da partícula é dado por:

$\textbf {r}(t) = (t^2 - 4t + 20) \textbf{i} + \left( 3 \cdot sin(2t) \right) \textbf{j},$

onde $\textbf{i}$ e $\textbf{j}$ são os respectivos vetores unitários nas direções de Ox e Oy.

Calculemos o vetor velocidade da partícula:

$\textbf{v}(t) = \frac{\textbf{dr}}{dt} = \frac{dx}{dt}\textbf{i} + \frac{dy}{dt}\textbf{j}\\\\\Longleftrightarrow \textbf{v}(t) = (2t-4)\textbf{i} + \left( 3\cdot cos(2t) \cdot 2 \right) \textbf{j}\\\\\Longleftrightarrow \textbf{v}(t) = (2t-4)\textbf{i} + \left( 6\cdot cos(2t) \riight) \textbf{j}$

Assim, determinemos o módulo do vetor velocidade:

$v_x = 2t - 4;\\\\v_y = 6\cdot cos(2t);\\\\| \textbf{v} | = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\\\\\Longleftrightarrow |\textbf{v}| = \sqrt{(2t - 4)^2 + (6\cdot cos(2t))^2}\\\\\Longleftrightarrow |\textbf{v}| = \sqrt{4t^2 - 16t + 16 + 36\cdot cos^2(2t)}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{|\textbf{v}| = 2\sqrt{t^2 - 4t + 4 + 9 \cdot cos^2(2t)}.}$

O ângulo que $\textbf{v}$ faz com o eixo x é:

$\theta = \frac{v_y}{v_x}\\\\\Longleftrightarrow \theta = arctg \left( \frac{6\cdot cos(2t)}{2t - 4} \right)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\theta = arctg \left( \frac{3 \cdot cos(2t)}{t - 2} \right).}$

Calculemos o vetor aceleração da partícula:

$\textbf{a}(t) = \frac{d^2\textbf{r}}{dt^2} = \frac{d^2x}{dt^2}\textbf{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\textbf{j}\\\\\Longleftrightarrow \textbf{a}(t) = 2 \textbf{i} + \left( 6 \cdot (-sin(2t)) \cdot 2 \right) \textbf{j}\\\\\Longleftrightarrow \textbf{a}(t) = 2\textbf{i} -\left(12 \cdot sin(2t) \right)\textbf{j}$

Assim, determinemos o módulo do vetor aceleração:

$a_x = 2; \\\\ a_y = -12 \cdot sin(2t);\\\\| \textbf{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\\\\\Longleftrightarrow | \textbf{a} | = \sqrt{2^2 + (-12 \cdot sin(2t))^2}\\\\\Longleftrightarrow | \textbf{a} | = \sqrt{4 + 144 \cdot sin^2(2t)}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{ | \textbf{a} | = 2\sqrt{1 + 36 \cdot sin^2(2t)}.}$

O ângulo que $\textbf{a}$ faz com o eixo x é:

$\theta = \frac{a_y}{a_x}\\\\\Longleftrightarrow \theta = arctg \left( \frac{-12 \cdot sin(2t)}{2}\right)\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\theta = arctg \left( -6 \cdot sin(2t)\right).}$