Question

determine a solução da equação log2 (x-2)+log2(x-3)=1+log2(2x-7)

Answer 1

$log_2 (x-2)+log_2(x-3)=1+log_2(2x-7)=\\ log_2 (x-2)+log_2(x-3)=log_22+log_2(2x-7)=\\ log_2 (x-2)(x-3)=log_22(2x-7)=\\ (x-2)(x-3)=2(2x-7)\\ x^2-5x+6=4x-14\\ x^2-9x+20=0\\ \\ S=\{4,5\}$

Answer 2

O conjunto solução da equação log₂(x - 2) + log₂(x - 3) = 1 + log₂(2x - 7) é S= {4,5}.

Temos a equação log₂(x - 2) + log₂(x - 3) = 1 + log₂(2x - 7).

Quando o logaritmando é igual a base, então o logaritmo é igual a 1.

Sendo assim, podemos reescrever a equação da seguinte maneira:

log₂(x - 2) + log₂(x - 3) = log₂(2) + log₂(2x - 7).

Existe uma propriedade de logaritmo que nos diz que:

logₐ(x) + logₐ(y) = logₐ(x.y) → soma de logaritmos de mesma base.

Portanto:

log₂((x - 2)(x - 3)) = log₂(2.(2x - 7))

log₂(x² - 3x - 2x + 6) = log₂(4x - 14)

log₂(x² - 5x + 6) = log₂(4x - 14)

log₂(x² - 5x + 6) - log₂(4x - 14) = 0.

Agora, observe essa outra propriedade de logaritmo:

logₐ(x) - logₐ(y) = logₐ(x/y) → subtração de logaritmos de mesma base.

Assim:

log₂((x² - 5x + 6)/(4x - 14)) = 0

A definição de logaritmo nos diz que:

logₐ(b) = x ⇔ aˣ = b.

Utilizando a definição:

(x² - 5x + 6)/(4x - 14) = 2⁰

x² - 5x + 6 = 4x - 14

x² - 9x + 20 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos x = 4 e x = 5 como solução.

Para mais informações sobre logaritmo: https://brainly.com.br/tarefa/5793162