Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão:
S = {(x, y, z) Є R³: x - 3y + z = 0}
Respostas
Uma base do espaço vetorial dado na questão é {(3, 1, 0); (-1, 0, 1)} e a dimensão de S é igual a 2.
Espaço vetorial
Para escrever uma base do espaço vetorial S devemos descrever os vetores que pertencem a S como combinação linear de uma quantidade mínima de vetores.
Como os vetores que pertencem a S satisfazem a igualdade x - 3y + z = 0, podemos escrever:
x = 3y - z
Dessa forma, supondo y e z como variáveis livres, temos que, um vetor qualquer (x, y, z) pertence ao espaço vetorial S se:
(x, y, z) = (3y - z, y, z) = (3y, y, 0) + (-z, 0, z) = y*(3, 1, 0) + z*(-1, 0, 1)
Dessa forma, os vetores (3, 1, 0) e (-1, 0, 1) geram o espaço vetorial S. Como não existe um número real k tal que (3, 1, 0) = k*(-1, 0, 1), podemos afirmar que esses vetores são linearmente independentes, portanto, formam uma base de S.
Como a base encontrada possui dois vetores, temos que, a dimensão de S é igual a 2.
Observe que a questão proposta possui mais de uma solução para a base de S, mas que todas as soluções são equivalentes e que todas possuem dois vetores. São exemplos de soluções possíveis as bases {(1, 1, 2); (-1, 0, 1)} e {(0, 1, 3); (1, 0, -1)}.
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#SPJ1
