Question

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação, citada pela primeira vez por volta do século II. Apesar disso, várias delas não foram isoladas e consideradas separadamente antes dos séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das idéias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, quando muitas noções e métodos de séculos anteriores foram abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Fonte: ÁLGEBRA LINEAR. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikipédia Foundation, 2022. Disponível em: . Acesso em: 19 ago. 2022.



Determine uma base para o espaço vetorial S e sua dimensão:

S = {(x, y, z) Є R³: x - 3y + z = 0}

Answer 1

Levando em consideração as informações dadas pela questão e os conhecimentos referentes a dependência linear, podemos afirmar que {(-2,1,5),(16,7,5)} são uma base e dim S = 2.

Sobre dependência linear:

Temos que o espaço vetorial S é um plano, com isso, podemos usar os coeficientes da equação para encontrar o vetor normal, de forma que $\vec v$ = (1,-3,1). Com isso, podemos escolher quaisquer pontos arbitrários pertencentes ao plano para encontrar um vetor também pertencente a ele. Neste caso, podemos usar o ponto A = (0,1,3) e o ponto B = (2,0,-2). Desse modo:

$\vec u=A -B = > (0,1,3) - (2,0,-2) = > \vec u = (-2,1,5)$

Logo, precisamos fazer o produto vetorial de $\vec u$ com $\vec v$ para encontrar um vetor $\vec s$ que pertença ao plano e seja linearmente independente. Desse modo, fazendo $\vec u \times \vec v$ = (15,7,5).

Portanto, como a combinação linear de $\vec s$ e $\vec u$ forma o espaço vetorial S, podemos afirmar que {(15,7,5),(-2,1,5)} é uma base de S e dim S = 2.

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