Question

A derivada de f ( x ) = ln ( cos ( 4 x ) ) é : (Ref. : 202103730757)

Answer 1

De acordo com a regra da cadeia, temos que a derivada da função f(x) = ln(cos(4x)) $=-4\tan \left(4x\right)$

Regra da cadeia

A regra da cadeia é usada para encontrar as derivadas de funções compostas como (x² + 1)³, (sen 2x), (ln 5x) e assim por diante. Se y = f(g(x)), então y' = f'(g(x)). g'(x). A regra da cadeia afirma que a taxa instantânea de variação de f em relação a g em relação a x nos ajuda a calcular a taxa instantânea de variação de f em relação a x.

Etapas da Regra da Cadeia

• Passo 1: identificar a regra da cadeia: A função deve ser uma função composta, o que significa que uma função está aninhada sobre a outra.
• Passo 2: Identifique a função interna e a função externa.
• Passo 3: Encontre a derivada da função externa, deixando a função interna.
• Passo 4: Encontre a derivada da função interna.
• Passo 5: Multiplique os resultados do passo 4 e do passo 5.
• Passo 6: Simplifique a derivada da regra da cadeia.

Exemplo: Considere uma função: g(x) = ln(sen x)

• g é uma função composta. Portanto, apliquemos a regra da cadeia.
• sen x é a função interna e ln(x) é a função externa.
• A derivada da função externa é 1/sen x.
• A derivada da função interna é cos x.
• Finalmente g'(x) é  derivada da função externa, deixando a função interna sozinha × a derivada da função interna = 1/sen x . cos x
• Ao simplificar, obtemos, cos x/sen x = cot x

Temos a seguinte função:

$\dfrac{d}{dx}\left(ln\left(cos\left(4x\right)\right)\right)$

Devemos aplicar a regra da cadeia:

$=\dfrac{1}{cos\left(4x\right)}\:\dfrac{d}{dx}\left(cos\left(4x\right)\right)$

$=\dfrac{1}{\cos \left(4x\right)}\left(-\sin \left(4x\right)\cdot \:4\right)$

$=-4\tan \left(4x\right)$

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