Question

Lista de Exercícios- Limites contínuos

2) seja $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$f(x) =\begin{cases}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x-1}\ \ \mathrm{ se}\ \ x \neq 1\\ \ \ \ \ \ k\ \ \ \ \ \mathrm{se}\ x= 1 \end{cases}$

Determine K para que f seja contínua no ponto $X_0=1$

Answer 1

Para a função $F(x)$ ser contínua  K tem que ter o valor de

$\large\text{ \boxed{-\dfrac{1}{2}} }$

Mas, como chegamos nessa conclusão ?

Temos o seguinte problema

$f(x) =\begin{cases}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x-1}\ \ \mathrm{ se}\ \ x \neq 1\\ \ \ \ \ \ k\ \ \ \ \ \mathrm{se}\ x= 1 \end{cases}$

Perceba que a função $\left(\dfrac{1-\sqrt{x} }{x-1} \right)$ é definida para todos os números reais menos para $X=1$

$\Large\text{ \lim_{x\to1}\left( \frac{1-\sqrt{x} }{x-1} \right)\Rightarrow \left( \frac{1-\sqrt{1} }{1-1} \right)\Rightarrow \frac{1-1}{0}\Rightarrow \frac{0}{0}? }$

quando X é igual a 1 a função é igual a incógnita K, oque temos que descobrir  qual o Valor de K que faz a função ser continua?

Para resolver esse problema é bastante simples basta descobrimos qual é o  valor que a função $F(x)=\left(\dfrac{1-\sqrt{x} }{x-1} \right)$ tende quando X é igual a 1 e igualar esse valor a K

Para fazer isso  basta descobrirmos o  Limite da função com X tendendo a 1

$\Large\text{ \lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1-\sqrt{x} }{x-1}\right) }$

Vamos usar o produto notável da diferença de dois quadrados

• $\boxed{A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)}$

Vamos considerar  a expressão $(1-\sqrt{x} )$ como $(A-B)$  e para termos a diferença de dois quadrados precisamos multiplicar essa função por $(A+B)$ em cima e embaixo para não alterar  a função original

$(A+B)\Rightarrow (1+\sqrt{x} )$

$\large\text{ \lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1-\sqrt{x} }{x-1}\right) \Rightarrow \lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1-\sqrt{x} }{x-1}\right)\cdot \left(\dfrac{1+\sqrt{x} }{1+\sqrt{x} }\right) }$

$\large\text{ \lim_{x\to 1}\left(\dfrac{(1)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2 }{(x-1)\cdot(1+\sqrt{x} )}\right)\Rightarrow \lim_{x\to 1}\dfrac{(1-x)}{(x-1)\cdot(1+\sqrt{x} )} }$

Perceba que não temos $(X-1)$ no numerador mas se colocarmos -1 em evidencia assim conseguiremos simplificar e erradicar a indeterminação e assim saberemos qual o valor a função tende com X=1

$\large\text{ \lim_{x\to 1}\dfrac{(1-x)}{(x-1)\cdot(1+\sqrt{x} )} \Rightarrow \lim_{x\to1}\dfrac{-(-1+x)}{(x-1)\cdot (1+\sqrt{x} } \Rightarrow }$

$\large\text{ \lim_{x\to1}\dfrac{-1}{ (1+\sqrt{x}) }\Rightarrow\dfrac{-1}{(1+\sqrt{1}) }\Rightarrow \boxed{-\dfrac{1}{2}} }$

Então para que a função seja continua em todo seu domínio  K tem que ser igual a $-\dfrac{1}{2}$

Aprenda mais sobre limites aqui no Brainly:

brainly.com.br/tarefa/53977986

brainly.com.br/tarefa/53959465

brainly.com.br/tarefa/53941742

brainly.com.br/tarefa/3838426

brainly.com.br/tarefa/3852287

brainly.com.br/tarefa/53937188

brainly.com.br/tarefa/53966455

brainly.com.br/tarefa/53967840    

brainly.com.br/tarefa/53975075

brainly.com.br/tarefa/53979364

Answer 2

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de funções contínuas que o valor de k para que a função seja contínua em x₀=1 é $\sf-\dfrac{1}{2}$✅

Função contínua

Uma função f(x) é contínua em x=a quando:

• $\sf f(a)$  está definida✅

• $\displaystyle\sf\lim_{x \to a}f(x)$   existe✅

• $\displaystyle\sf \lim_{x \to a}f(x)=f(a)$✅

Em outras palavras, uma função é contínua em determinado ponto de seu domínio quando esta função está definida no ponto, o limite desta função existe no referido ponto e é igual ao valor da função no ponto.

Definição de limite de uma função

Seja f uma função definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o valor de a. A afirmação  $\displaystyle\sf\lim_{x \to a}f(x)=L$  significa que, para cada número positivo ε, há um número positivo δ tal que $\Large{\sf |f(x)-L| < \varepsilon}$   sempre que  $\sf 0 < |x-a| < \delta$  

Limites indeterminados

No tópico anterior discutimos a definição de limite. A necessidade de se ter um intervalo aberto contendo um ponto a sem incluir o próprio ponto a é porque existem funções que não estão definidas para qualquer valor real. As funções racionais são um ótimo exemplo disso, pois por exemplo na função

$\sf f(x)=\dfrac{2x}{x-3}$    a imagem da função quando x assume o valor 3 não está                definida. Diante disso, existem diversas técnicas que permitem eliminar a indeterminação de limites da forma $\sf\dfrac{0}{0}$, $\infty-\infty$,$\dfrac{\infty}{\infty}$,   $\infty\cdot 0$.

As técnicas mais utilizadas são:

• Produtos notáveis✅
• divisão de polinômios✅
• fatoração✅
• conjugado de radical✅
• dispositivo prático de Brioft-Ruffini✅

Substituição para limites indeterminados

Está uma técnica que permite reescrever um limite indeterminado em outro limite indeterminado porém de mais fácil tratamento. Necessariamente usamos uma outra variável para reescrever a função do limite e encontra-se a nova indeterminação de acordo com a escolha feita.

exemplo: reescrever o limite $\displaystyle\sf\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$ em um novo limite que não contenha variável no radical

Solução: aqui iremos fazer

$\sf t=\sqrt{x}\implies x=t^2\\\sf x\longrightarrow4\,quando\,t\longrightarrow2$

daí   $\displaystyle\sf\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\implies \lim_{t \to 2}\dfrac{t-2}{t^2-4}$

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos usar a definição de função contínua para descobrir o valor de k.

1) f(a) deve estar definida:

aqui o nosso "a" é o ponto x=1. dessa forma

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf k=f(1)\end{array}}$

2) $\displaystyle\sf\lim_{x \to a}f(x)$ existe:

vamos calcular os limites laterais:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x-1}\end{array}}$

vamos usar uma substituição e reescrever o limite sem radicais:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf t=\sqrt{x}\implies x=t^2\\\sf x\longrightarrow 1\,quando\,t\longrightarrow 1\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x-1}\implies \lim_{x \to 1}\dfrac{1-t}{t^2-1}\implies -\lim_{t \to 1}\dfrac{t-1}{t^2-1}\end{array}}$

lembrando que  $\sf a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$ temos

$\sf t^2-1=(t-1)\cdot(t+1)$. Vamos substituir isto no limite

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf-\lim_{t \to 1}\dfrac{\diagup\!\!\!\!(t-\diagup\!\!\!1)}{\diagup\!\!\!\!(t-\diagup\!\!\!1)\cdot(t+1)}\implies -\lim_{t \to 1}\dfrac{1}{t+1}\\\\\sf=-\dfrac{1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}\end{array}}$

analogamente:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\lim_{\,\,x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x-1}\implies -\lim_{t \to 1}\dfrac{t-1}{t^2-1}\\\sf =-\dfrac{1}{2}\end{array}}$

para que o limite exista  $\displaystyle\sf \lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)\implies \lim_{x \to 1}f(x)=-\dfrac{1}{2}$

3) $\displaystyle\sf \lim_{x \to a}f(x)=f(a)$ .

Agora basta comparar a imagem da função no ponto 1 com o limite obtido no mesmo ponto e calcular o valor de k.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf \lim_{x \to 1}f(x)=f(1)\\\sf k=-\dfrac{1}{2}\end{array}}$

Saiba mais em:

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