Question

Usando a definição de limite verifique:


(a) $\lim_{x,y \to \(3,1} 6x-2y=10$

Answer 1

Temos o seguinte limite com duas variáveis:

$\displaystyle \lim_{(x,~y)\to (2,~1)} 6x - 2y =10\qquad \rm(I)$

O que devemos fazer é verificar se o valor obtido no limite é verdadeiro, mas usando a definição de limite que também é conhecida como definição epsilo-delta, a definição épsilon-delta do limite afirma que o limite de f(x) em x=a é L se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, se a distância de x a a for menor que δ (delta), então a distância de f(x) a L é menor que ε (epsilon), podemos expressar isso matematicamente da seguinte forma:

$Para~um~limite~com~uma~\'unica~vari\'avel:~\boxed{\displaystyle \sf\lim_{x\to a}f(x)=L~Sim~\forall \epsilon > 0,~\exist \delta > 0~tal~que~sim~0 < |x-a| < \delta~ent\~ao~|f(x)-L| < \epsilon} \\\\ Para~um~limite~com~duas~vari\'aveis:~\boxed{\displaystyle \sf\lim_{(x,~y)\to (a,~b)}f(x,~y)=L~Sim~\forall \epsilon > 0,~\exist \delta > 0~tal~que~sim~0 < |x-a| < \delta~e~0 < |y-b| < \delta~ent\~ao~|f(x,~y)-L| < \epsilon}$

Se compararmos a expressão que é nosso limite com a definição epsilon - delta mas para limites de duas variáveis podemos obter as seguintes desigualdades:

$|6x - 2y - 10|<\epsilon\quad \rm{(\star)}\quad \begin{cases}0<|x -2| <\delta\qquad \rm (II)\\\\ 0<|y-1| <\delta\qquad \rm (III)\end{cases}$

O que devemos fazer é trabalhar com a desigualdade (☆) e esta mesma desigualdade deve estar relacionada com a desigualdade (I) e (II), chegando a esta conclusão podemos verificar que o valor do nosso limite está correto, ou seja, que o valor do limite é igual a 10. Note que o 10 que temos na desigualdade (☆) pode ser escrito como 12-2 já que 12-2=10, então substituindo este resultado em (☆) obteremos:

$|6x - 2y - (12 -2)|<\epsilon\quad\to\qquad|6x -2 y -12 +2|<\epsilon\\\\ |6x - 12 -2y + 2|<\epsilon\qquad\to\qquad |(6x-12)+(-2y +2)|<\epsilon\qquad \rm (IV)$

Observe que já avançamos muito, pois a desigualdade (IV) é um pouco idêntica à desigualdade (II) e à desigualdade (III), mas ainda não vamos dizer que o valor do limite está correto, pois ainda não atingimos um valor conclusão como uma resposta apressada pode levar a uma resposta incorreta. Neste ponto vamos simplificar a desigualdade (IV) para esta simplificação vamos aplicar a seguinte propriedade de valor absoluto que é conhecida como desigualdade triangular:

$\qquad \boxed{\qquad\bf |a+b|\leq |a|+|b|\qquad}\qquad$

Aplicando esta propriedade de valor absoluto com a desigualdade (IV) vamos obter esta nova desigualdade:

$|(6x-12)| +(-2y+2 )|\leq |6x -12| + |-2y +2| \qquad\to\qquad|6x-12 -2y+2)|\leq |6\left(x -2\right)| + |-2\left(y -1\right)|\\\\ | 6x -2y-10|\leq |6|\cdot |x-2|+ |-2|\cdot|y -1| \qquad\to\qquad||6x-2y-10|\leq 6 \underbrace{|x -2|}_{|x-2|<\delta}+2\overbrace{ |y -1| }^{ |x-1|<\delta}\qquad \rm{(V)}$

Observe que na desigualdade (V) temos expressões muito idênticas às desigualdades (II) e (III) para as quais se pode concluir o seguinte:

$\boxed{ |6x-2y-10|\leq 6 \delta+2\delta\qquad \to\qquad | 6x-2y-10|\leq 8\delta}\qquad \rm (VI)$

Agora observe que essa nova desigualdade que ele decidiu chamar de (VI) é muito idêntica à desigualdade (☆), sendo idêntica daqui podemos tirar a seguinte conclusão:

$\boxed{\begin{matrix}&&\begin{cases} 8\delta =\epsilon\\\\ \delta =\dfrac{\epsilon}{8}\end{cases}&&\end{matrix}}$

Como queríamos demonstrar (C.Q.D).

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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