Question

Preciso da resposta urgentementeeee

Answer 1

Resposta:

Resolvamos as equações irracionais dadas.

a)

$\sqrt{2x^2 + 7} + x = 2$

Como $2x^2 + 7 \geq 0, \forall \, x \in \mathbb{R},$ o domínio de validade desta equação é $\mathbb{R}$.

$\Longleftrightarrow \sqrt{2x^2 + 7} = 2 - x$

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, a igualdade se mantém. Assim:

$\left( \sqrt{2x^2 + 7}\right)^2 = \left( 2 - x\right)^2\\\\\Longleftrightarrow \left| 2x^2 + 7 \right| = 4 - 4x + x^2$

Como $2x^2 + 7 \geq 0, \forall \,x \in \mathbb{R},$ podemos eliminar o módulo da expressão à esquerda.

$\Longleftrightarrow 2x^2 + 7 = 4 - 4x + x^2\\\\\Longleftrightarrow x^2 + 4x +3 = 0\\\\\Longleftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0\\\\\Longleftrightarrow x = -1\,\,\,ou\,\,\,x = -3$

Assim, o conjunto solução desta equação é:

$\boxed{S = \left\{ -3, -1 \right\}.}$

b)

$\sqrt{\sqrt{7x^2 + 18}} = x$

Do lado esquerdo da equação, devemos ter $7x^2 + 18 \geq 0,$ que é verdadeiro para todo $x$ real. Do lado direito, devemos ter $x \geq 0.$

Assim, o domínio de validade desta equação é $\mathbb{R}_+$.

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, a igualdade se mantém. Assim:

$\Longleftrightarrow \left( \sqrt{\sqrt{7x^2 + 18}} \right)^2 = x^2\\\\\Longleftrightarrow \sqrt{7x^2 + 18} = x^2$

Elevando-se novamente ambos os membros ao quadrado, a igualdade se mantém. Assim:

$\Longleftrightarrow \left( \sqrt{7x^2 + 18} \right)^2 = \left( x^2 \right)^2\\\\\Longleftrightarrow 7x^2 + 18 = x^4\\\\\Longleftrightarrow x^4 - 7x^2 - 18 = 0\\\\\Longleftrightarrow (x^2 +2)(x^2 - 9) = 0$

Temos, assim, as seguintes possibilidades:

$i)\,\,\,x^2 = -2;$

(não convém, pois $x^2 \geq 0, \forall \, x \in \mathbb{R}$)

$ii)\,\,\, x^2 = 9\\\\\Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{9}\\\\\Longleftrightarrow x = 3\,\,\,ou\,\,\,x = -3.$

Perceba que $-3$ não pode ser solução desta equação, uma vez que seu domínio de validade é $\mathbb{R}_+.$

Portanto, seu conjunto solução é:

$\boxed{S = \left\{3 \right\}.}$

Answer 2

Resposta:

1) x1 = -3, x2 = -1

2) x = 3

Explicação passo-a-passo:

Resolução da primeira questão:

√2x^2+7 + x = 2

2x^2+7 = 2-x

(√2x^2+7)^2 = (2-x)^2

2x^2+7 = 2^2-2×2×x+x^2

2x^2+7 = 4-4x+x^2 ---> Multiplique o lado direito da equação por -1 e coloque a igualdade 0:

2x^2+7-4+4x-x^2 = 0 ---> Organize a equação, separando os números das letras:

2x^2-x^2+7-4+4x = 0

x^2+3+4x = 0

x^2+4x+3 = 0

∆ = b^2-4×a×c

∆ = 4^2-4×1×3

∆ = 16-12

∆ = 4

x = -b±√∆/2×a

x = -4±√4/2×1

x = -4±2/2

x1 = -4-2/2 = -6/2 = -3

x2 = -4+2/2 = -2/2 = -1

x1 = -3, x2 = -1

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Resolução da segunda questão:

√√7x^2+18 = x

4√7x^+18 = x ---> (o 4 antes da raíz quadrada representa a raíz quarta de 7x^2+18).

(4√7x^2+18)^4 = x^4

7x^2+18 = x^4

7x^2+18-x^4 = 0

-x^4+7x^2+18 = 0 ---> Multiplique todos os membros da equação por -1:

-x^4×(-1)+7x^2×(-1)+18×(-1) = 0

x^4-7x^2-18 = 0 ---> Substitua a letra x por qualquer outra letra:

t = x^2

t^2-7t-18 = 0

∆ = b^2-4×a×c

∆ = (-7)^2-4×1×(-18)

∆ = 49+72

∆ = 121

t = -b±√∆/2×a

t = -(-7)±√121/2×1

t = 7±11/2

t1 = 7-11/2 = -4/2 = -2

t2 = 7+11/2 = 18/2 = 9

Devolva a substituição de t = x^2:

x^2 = -2 ---> x não pertence ao conjunto dos números reais, pois o quadrado do número real não pode ser negativo.

x^2 = 9

√x^2 = ±√9

x = ±3

x1 = -3, x2 = 3

Substituindo o valor de x por -3 e por 3 na equação:

Por -3:

4√7×(-3)^2+18 = -3

4√7×9+18 = -3

4√63+18 = -3

4√81 = -3

3 = -3 ❌ ---> A igualdade não é verdadeira quando o valor de x é -3.

Por 3:

4√7×3^2+18 = 3

4√7×9+18 = 3

4√63+18 = 3

4√81 = 3

3 = 3 ✅ ---> A igualdade é verdadeira quando o valor de x é 3.

Eu espero ter ajudado :)