Question

Seja n o menor número natural que possui exatamente 20 divisores positivos. Qual é a soma dos algarismos de n?​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

2^4 x 3^3 = 16 x 27 = 432

Para calcular o número de divisores naturais de n pega-se cada expoente do n decomposto em fatores primos, adiciona-se 1 unidade e efetua-se o produto, logo:

(4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20

Como n é 432, 4 + 3 + 2 = 9

Answer 2

Com o estudo sobre números primos, temos que a soma dos algarismo será 18

Teorema fundamental da aritmética

Todo inteiro positivo n > 1 pode ser expresso como um produto de primos e esta representação é única, a menos da ordem em que fatores ocorrem.

Exemplo: Escreva os números como produto de números primos 360, 4725 e 17460.

• 360 = 2³ . 3² . 5
• 4725 = 3³ . 5² . 7
• 17460 = 2³ . 3² . 5 . 7²

Observação: Algumas aplicações do teorema fundamental é que podemos calcular a quantidade de divisores de um número da seguinte forma:

• Fatorar o número
• Somar 1 a cada expoente dos fatores primos distintos
• Multiplicar os resultados obtidos nas somas anteriores
• O resultado dessas multiplicações é a quantidade de divisores do número apresentado

De forma equivalente: O número divisores de um número natural n, escrito na forma fatorada:

• ${a}^{\alpha}.{b}^{\beta}.{c}^{\gamma}....$

é dado da seguinte forma:

• $(\alpha + 1)(\beta + 1)...$

20 = 4 . 5 = (3 + 1) . (4 + 1)

Podemos concluir que os números naturais  n que tem exatamente 20 divisores positivos são do tipo:

$n=(\alpha ^3.\beta ^4)$ ou $n =(\alpha ^4.\beta ^3)$

ou seja

$n=3^4.4^3=5184$

Daí, 5 + 1 + 8 + 4 = 18

Saiba mais sobre números primos:https://brainly.com.br/tarefa/38500453

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