• Matéria: Matemática
  • Autor: gomesantoni
  • Perguntado 3 anos atrás
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A função custo relaciona-se aos gastos de uma loja, uma empresa ou uma indústria, seja na produção ou na compra de um produto. A função custo (C(x)) pode ser representada a partir do custo fixo (Cv) e do custo variável (Cv), por meio da seguinte fórmula:
C(x) = Cf + Cv

A função receita (R(x)) está ligada ao faturamento bruto, a depender do número de vendas de produtos, expressa por meio da seguinte fórmula:
R(x) = p * X
Em que p é o preço de mercado e x é a quantidade de produtos vendidos.
Por fim, a função lucro (L(x)) diz respeito ao lucro líquido da empresa, sendo obtido a partir da diferença da função receita e da função custo:
L(x) = R(x) - C(x)

ETAPA 1

Em uma fábrica de peças automotivas, há um custo fixo mensal de R$ 450,00, incluindo impostos, salário de funcionários, conta de água, de luz e entre outros. E, também há um custo variável que depende da quantidade de peças A produzidas, de R$ 42,00. Considerando o valor de mercado de cada peça A de R$ 95,00, então:

a) Encontre a função custo (C(x)).
b) Encontre a função receita (R(x)).
c) Encontre a função lucro (L(x)).


ETAPA 2

A função custo mensal de fabricação de uma peça B na fábrica é de C(x) = 2x3 - 8x2 + 98x -1, cujo preço de venda é de p = 100. Sabendo disso:

a) Encontre a função lucro.
b) Utilize o teste da segunda derivada para determinar a quantidade de peças B que devem ser produzidas e vendidas mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo.
c)Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo.


ETAPA 3

O administrador da fábrica deseja comprar um equipamento capaz de resultar em uma economia de custos operacionais. Tal economia é dada pela função f(x) unidades monetárias por ano, quando o equipamento estiver x anos em uso: f(x) = 1000x + 250. Utilizando uma integral definida, determine:

a) A economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 3 primeiros anos.
b) Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$ 42.750,00?

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Respostas

respondido por: williamcanellas
32

Pelos conceitos de função e do cálculo diferencial e integral temos as seguintes soluções:

1a) C(x)=42x+450;

1b) R(x)=95x;

1c) L(x)=53x-450;

2a) L(x)=-2x^3+8x^2+2x+1;

2b) L''(x)=-12x+16\Rightarrow L''(2,79)=-17,48 &lt; 0\Rightarrow maximo;

2c) Na figura abaixo;

3a) Economia de R$ 5250 em três anos;

3b) O equipamento será pago após 9 anos.

Cálculo Diferencial e Integral

Para responder a estas questões vamos aplicar conceitos de derivada, integral e máximos e mínimos.

  • ETAPA 1 - Como neste caso há um custo fixo mensal de R$ 450, um custo  de variável de R$ 42 por peça produzida e ainda que cada peça é vendida por R$ 95 temos:

a) A função custo será dada por:

C(x)=42x+450

b) A função receita será definida por:

R(x)=95x

c) Por fim, a função lucro será:

L(x)=R(x)-C(x)\\\\L(x)=95x-42x-450\\\\L(x)=53x-450

  • ETAPA 2 - Neste caso, como a função custo é um polinômio de 3º grau dado por C(x) = 2x³ - 8x² + 98x - 1 e cada peça é vendida por R$ 100 teremos:

a) A função lucro é definida por:

L(x)=R(x)-C(x)\\\\L(x)=100x-2x^3+8x^2-98x+1\\\\L(x)=-2x^3+8x^2+2x+1

b) Derivando a função L(x) obtemos os valores de máximo e/ou mínimo quando esta derivada for nula.

L(x)=-2x^3+8x^2+2x+1\\\\L'(x)=-6x^2+16x+2

Cujos pontos críticos são, aproximadamente:

x'=-0,12 \ e \ x''=2,79

Calculando a segunda derivada e substituindo os valores de x' e x'' no teste da derivada segunda, obtemos:

L''(x)=-12x+16\\\\L''(-0,12)=17,44 &gt; 0\Rightarrow minimo\\\\L''(2,79)=-17,48 &lt; 0\Rightarrow maximo

c) O gráfico encontra-se na figura abaixo.

  • ETAPA 3 - Como neste caso queremos a economia acumulada ao longo do tempo (em anos) vamos integrar a função f(x) = 1000x + 250.

$\int_a^b 1000x+250 \ dx

a) Aplicaremos a integral definida para os seguintes limites de integração 0 ≤ x ≤ 3.

$\int_0^3 1000x +250 \ dx=500x^2+250x\Bigg|_0^3

=500\cdot 3^2+250\cdot 3\\\\=4500+750\\\\=5250

b) Para que o equipamento esteja totalmente pago deveremos ter:

500x^2+250x=42750\\\\500x^2+25x-42750=0\Rightarrow x'\approx -9,3 \ e \ x''\approx 9,2

Mantendo a economia proposta, em 9 anos o equipamento estará pago.

Para saber mais sobre Cálculo Diferencial e Integral acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/52440580

https://brainly.com.br/tarefa/51802052

#SPJ1

Anexos:
pamcriscomex: entendi!! Substituindo na original da 25...mas o teste da segunda derivada nos dá o que? Pensei que estes valores 17,44 e -17,48 seria o lucro máximo...estes valores são o que então? Obrigada pela sua atenção
williamcanellas: Os testes da derivada segunda são apenas para verificar a concavidade da curva naquele ponto (o que indica se é máximo ou mínimo), pois como a derivada geometricamente é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto, se este for positivo a concavidade é para cima e tem ponto de mínimo e caso contrário será de máximo. Espero ter ajudado!!!
pamcriscomex: Show!! Obrigada, fera!
hartmannricardo: Boa tarde, Amigo. Então o lucro máximo seria: 25,41 para 2,79 peças vendidas?
rudineifumeta: Obrigado
slourianny: Como vai dar 25
alexkelvin94: Olá. Você vai utilizar a segunda derivada APENAS para saber qual dos pontos críticos (x' ou x'') será o valor de limite máximo (o valor com resultado NEGATIVO). O valor máximo que tem de ser encontrado no Geogebra (etapa 2c), é definido pela função Lucro original, que é: -2x³ +8x² +2x +1, substituindo o "x" por 2,79 (que é o ponto crítico onde se obtém o valor máximo).
marcelomagalhaeschav: na etapa 2, no final da função é -1
williamcanellas: Isso
alexkelvin94: Por que -1?
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