Question

Seja n o menor número natural que possui exatamente 20 divisores positivos. Qual é a soma dos algarismos de n?

(E) 9

(D) 8

(C) 7

(B) 6

(A) 5

Answer 1

A soma dos algarismos de n é 6, alternativa B.

Divisores

O divisor de um inteiro n é o número que deve ser multiplicado por algum inteiro para produzir n.

Todo número n > 1 pode ser escrito como o produto de fatores primos:

$n = a^\alpha\cdot b^\beta\cdot c^\gamma \cdot ...$

O número de divisores de um número n é dado pela seguinte expressão:

(α + 1)(β + 1)(γ + 1)...

Se queremos um número n com 20 divisores, teremos que:

(α + 1)(β + 1)(γ + 1)... = 20

Fatorando 20:

20 | 2

10 | 2

5 | 5

1 |

2 · 2 · 5 = 20

α + 1 = 2 → α = 1

β + 1 = 2 → β = 1

γ + 1 = 5 → γ = 4

Logo, podemos escrever o número n como:

n = a¹·b¹·c⁴

Se queremos o menor número natural, teremos que utilizar os menores fatores primos:

n = 5·3·2⁴

n = 240

Logo, a soma dos seus algarismos é 6.

Leia mais sobre divisores em:

https://brainly.com.br/tarefa/3590391

#SPJ1