Question

Considere as funções f(x) = –x^2 + 2x + 3 e g(x) = x + 1. A quantidade de soluções inteiras da inequação f(x) ≥ g(x) é

Answer 1

Introdução ao tema das inequaçãoes:

• Uma inequação é a desigualdade existente entre duas expressões algébricas, conectadas através dos sinais: maior que >, menor que <, menor ou igual a ≤, assim como maior ou igual a ≥, em que um ou mais valores desconhecidos aparecem chamados de desconhecidos, além de certos dados conhecidos

• A desigualdade existente entre as duas expressões algébricas só se verifica, ou melhor, só é verdadeira para determinados valores da incógnita. A solução de uma inequação formulada significa determinar, por meio de certos procedimentos, o valor que a satisfaz.

Solução do problema:

Queremos conhecer o conjunto de soluções inteiras ($\mathbb{Z}$) da inequação $f(x)\geq g(x)$ onde $f(x) =-x^2+2x +3$ e $g(x)=x+1$, ou seja, temos que encontrar o conjunto de soluções da seguinte inequação de segundo grau:

$-x^2+2x+3\geq x+1\\\\\\ -x^2+2x+3-x-1\geq x+1-x-1\\\\\\ \red{ \boxed{-x^2+x+2\geq 0}}$

Para resolver inequaçãoes quadráticas usamos o fato de que um polinômio pode mudar seu sinal apenas nos pontos onde é igual a zero. (Ou seja, os valores de x que tornam o polinômio igual a zero). Entre dois zeros consecutivos, um polinômio é apenas positivo ou apenas negativo.

Vamos resolver essa inequação de segundo grau como se fosse uma equação de segundo grau, portanto é possível aplicar Bhaskara ou fatoração, vamos aplicar o método de fatoração já que vamos aplicar esse método, o que faremos é reduzir o polinômio de segundo grau como o produto de dois polinômios de grau 1 de tal forma que o resultado de seu produto seja o mesmo polinômio de segundo grau que tínhamos anteriormente.

$-x^2+x+2\geq 0\qquad\iff \qquad (-x-1)(x-2)\geq0$

O próximo passo não é necessário, pois vamos multiplicar ambas as partes da inequação por -1 isso para poder eliminar o -x que temos na inequação, se fizermos isso, também devemos inverter a desigualdade, ou seja, que deixará de ser maior ou igual a ≥ e passará a ser menor ou igual a ≤ desta forma temos que:

$\left(-1\right)\cdot (-x-1)(x-2)\geq0\cdot \left(-1\right)\qquad \tt \left(Inverter\right)\\\\\\ {\overbrace{(x+1)}^{\tt p(x)}\underbrace{(x-2)}_{\tt q(x)}\leq 0}$

Agora estudaremos os sinais das funções p e q. Primeiramente, calcule os seus zeros (valores de x no momento p(x) = 0 e q(x) = 0), pois assim determinaremos os pontos nos quais suas parábolas fazem intersecção com o eixo das abscissas (eixo x):

$\begin{array}{c|c} \tt p(x)=0&\tt q(x)=0\\\\ \tt x+1=0&\tt x-2=0\\\\ \tt x=-1&\tt x=2\end{array}$

Note que para a função p(x) se substituirmos valores maiores que seu zero obtemos valores positivos e se for menor que seu zero obtemos valores negativos e para a função q(x) a mesma coisa acontece, portanto, o comportamento das funções é:

• Para p(x):

$\sf p(x)=\begin{cases}\sf x>-1\implies p(x)>0\\\\ \sf x=-1\implies p(x)=0\\\\ \sf x<-1\implies p(x)<0\end{cases}$

• Para q(x):

$\sf q(x)=\begin{cases}\sf x>2\implies q(x)>0\\\\ \sf x=2\implies q(x)=0\\\\ \sf x<2\implies q(x)<0\end{cases}$

Plotando estas análises em intervalos reais ($\mathbb{R}$):

$\text{ \sf p(x)~\overset{\red{~~-~~-~~}}{\textsf{--------}}\!\!\!\!\!\underset{ - 1}{\bullet}\!\!\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~+~~+~~+~~+~~+~~+~~}}{\textsf{--------------------------------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

$\text{ \sf q(x)~~\,\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~-~~-~~-~~}}{\textsf{-----------------------------}}\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~}}{\textsf{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

$\text{ \sf p(x)q(x)~~\,\!\overset{\blue{\!\!\!~~+~~+~~}}{\textsf{---------}}\!\!\!\!\!\!\underset{ - 1}{\bullet}\!\!\!\!\overset{\red{~~-~~-~~-~~-~~-~~}}{\textsf{ \green{---------------------}}}\!\!\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{\!\!\blue{~~+~~+~~}}{\textsf{-----------}}\!\!\!\blacktriangleright }$

Se (x + 1)(x – 2) ≤ 0, teremos como solução todos os valores negativos apresentados no intervalo do produto, tais valores negativos aparecem entre os intervalos -1 ≤ x ≤ 2. Portanto, as soluções reais ($\mathbb{R}$) da inequação -x² + x + 2 ≥ 0 em notação de intervalo é igual a:

$\begin{array}{ccccc}&&\boldsymbol{\blue{S =\left[-1,~2\right]\qquad ou\qquad S=-1\leq x\leq 2}}&&\end{array}$

As soluções da inequação estão entre um intervalo de -1 a 2, portanto as soluções inteiras são $\sf S= \left\{-1,~0,~1,~2\right\}$, respondendo ao seu questão a inequação tem 4 soluções inteiras.