Question

Devido ao êxido rural foi constatado que o número de indivíduos de uma população decresce conforme a função P open parentheses t close parentheses equals alpha times 4 to the power of negative beta t end exponent, onde alpha spacee beta são constantes reais e t tempo em anos. Considerando que a população inicial é 8192, isto é, P open parentheses 0 close parentheses equals 8192 e que após oito anos a população se reduz a 25% da população inicial .

Neste contexto, quais os valores das constantes alpha e beta?

Answer 1

Os valores das constantes alpha e beta são 8192 e 1/8, respectivamente.

Função exponencial

A seguinte função determina o número de indivíduos dessa população:

$P(t) = \alpha \cdot 4^{-\beta \cdot t}$

A população inicial é de 8192, ou seja, quanto t = 0, temos P = 8192. Logo:

$P(0) = \alpha \cdot 4^{-\beta \cdot 0}\\\\8192 = \alpha \cdot 4^{-0}\\\\8192 = \alpha \cdot 1$

Então, o valor de alpha é 8192.

α = 8192

Depois de 8 anos, a população inicial foi reduzida a 25%. Logo:

25% de 8192 =

25 x 8192 = 204800 = 2048

100                     100

Então, quando temos t = 8, temos P = 2048.

$P(8) = \alpha \cdot 4^{-\beta \cdot 8}\\\\2048 = 8192 \cdot 4^{-\beta \cdot 8}\\\\4^{-\beta \cdot 8} = 2048 : 8192\\\\4^{-\beta \cdot 8} = 0,25\\\\4^{-\beta \cdot 8} = \frac{25}{100}$

$4^{-\beta \cdot 8} = \frac{5^2}{10^2}\\4^{-\beta \cdot 8} = \frac{5^2}{5^2\cdot2^2}\\4^{-\beta \cdot 8} = \frac{1}{2^2}\\4^{-\beta \cdot 8} = \frac{1}{4}\\4^{-\beta \cdot 8} = 4^{-1}$

Portanto:

- β·8 = - 1

β·8 = 1

β = 1/8

Mais sobre função exponencial em:

https://brainly.com.br/tarefa/47762801

#SPJ1